一次函数的描点法（热门20篇）

归纳1:正比例函数和一次函数的概念

基础知识归纳:

一般地,如果y=kx＋b（k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.

特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,y=kx（k为常数,k≠0)。这时,y叫做x的正比例函数.

基本方法归纳:判断一个函数是否是一次函数关键是看它的k是否不为0和自变量指数是否为1;而要判断是否为正比例函数还要在一次函数基础上加上b=0这个条件.

注意问题归纳:当k及自变量x的指数含字母参数时,要同时考虑k≠0及指数为1.

归纳2:一次函数的图像

基础知识归纳:

所有一次函数的图像都是一条直线;一次函数y=kx＋b的图像是经过点（0,b）的直线;

正比例函数y=k?x的图像是经过原点（0,0）的直线.

k>0,b>0时,图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大.

k>0,b

k0时,图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小.

k

当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例.

基本方法归纳:一次函数y=kx＋b是由正比例函数y=kx上下平移得到的,要判断一次函数经过的象限,先由k的正负判断是过一、三象限还是过二、四象限,再由b的正负得向上平移还是向下平移,从而得出所过象限。而增减性只由k的正负决定,与b的取值无关.

注意问题归纳:准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键.

归纳3:正比例函数和一次函数解析式的确定

基础知识归纳：

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx（k≠0）中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx＋b（k≠0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法.

基本方法归纳:?求正比例函数解析式只需一个点的坐标,而求一次函数解析式需要两个点的坐标.

注意问题归纳:?数形结合思想,将线段长度,图形面积与点的坐标联系起来是关键,同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理.

归纳4:一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积

基础知识归纳:

直线y=kx+b与x轴的交点坐标和与Y轴的交点坐标;能求直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

基本方法归纳:直线与两坐标轴交点是关键.

注意问题归纳:对于k不明确时要分情况讨论,否则容易漏解.

归纳5:一次函数的应用

基础知识归纳:

主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用.利用一次函数并与方程（组)、不等式（组)联系在一起决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题.?

基本方法归纳:利用函数知识解应用题的一般步骤:

（1）设定实际问题中的变量;

（2）建立变量与变量之间的函数关系,如:一次函数,二次函数或其他复合而成的函数式;

（3）确定自变量的取值范围,保证自变量具有实际意义;

（4）利用函数的性质解决问题;

（5）写出答案

注意问题归纳:读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义,还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量;自变量取值范围要准确,要满足实际意义.

一次函数是初中所学知识，高中也需要用这个函数，所以一次函数是非常值得重视的，下面给大家分享一次函数的相关内容。

操作方法

首先是一次函数的思维导图包含了那些函数，如图。

其次是函数定义。

之后是正比例函数定义。

在后面是是一次函数定义，性质。

最后是一次函数与方程的关系。

一.知识框架

二.知识概念

1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

2.正比例函数一般式：y=kx(k≠0)，其图象是经过原点(0,0)的一条直线。

3.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k0时,y随x的增大而增大;当k

4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法

一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。

函数

1.变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2.函数：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应。

3.定义域：

一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

一次函数是函数学习的基础，掌握一次函数的意义、特点、应用对以后进一步学习函数有着非常重要的意义。所以克服障碍，跨越难点，相信你可以做到

操作方法

掌握一次函数的解析式的特征

它是数与形的有机结合体，kx＋b是关于x的一次二项式，当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。这部分内容有着承上启下的作用。

理解一次函数和其它知识的联系

找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数

解决一次函数的方法

待定系数法，解方程，将求得的待定系数的值代回所设的函数解析式，从而得到所求函数解析式。不要有未知恐惧，觉得自己解不出来，要大胆放手去做。

正确理解函数与方程及不等式之间的联系

在比如说,给两个函数,让求其交点坐标,那就可以把函数联立,化成解方程组的问题,如果让求f1比f2高的区间,就可以在作用域范围内解f1>f2的不等式等等.

变量和常量

在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。

函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

自变量取值范围的确定方法

1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);

第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);

第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

正比例函数

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线.我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k

(1)解析式：y=kx(k是常数，k≠0)

(2)必过点：(0，0)、(1，k)

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限;k

(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大;k

(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴

正比例函数解析式的确定——待定系数法

1.设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)

2.把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程

3.解方程，求出系数k

4.将k的值代回解析式

一次函数

一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.

一次函数的图象及性质

一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(-b/k，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)

(2)必过点：(0，b)和(-b/k，0)

(3)走向：k>0，图像从左往右斜向上;

k

b>0，交y轴正半轴；

b=0，交原点；

b

k>0，b>0;直线经过第一、二、三象限

k>0，b直线经过第一、三、四象限

K0;直线经过第一、二、四象限

K直线经过第二、三、四象限

(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大;k

(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.

(6)图像的平移：当b>0时，将直线y=kx图象向上平移b个单位;

当b

直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

(1)两直线平行：k1=k2且b1≠b2

(2)两直线相交：k1≠k2

(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2

确定一次函数解析式的方法

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.

一次函数建模

函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.

正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线.这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：

(1)从函数图象的形状判定函数的类型;

(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

用函数观点看方程(组)与不等式

一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b

一次函数与二元一次方程组

(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-(a/b)x++c/b的图象相同.

(2)二元一次方程组

a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2;的解可以看作是两个一次函数y=(a1/b1)x+c1/b1和y=-(a2/b2)x+c2/b2的图像交点。

一次函数图可以帮助我们更加直观的看清数据关系，那么如何在Excel中制作一次函数图呢？下面小编给大家分享一下。

工具/材料

Excel

操作方法

首先我们打开Excel文件，绘制一个图表，图表主要2列数据，如下图所示

接下来点击插入菜单，然后在散点图下面选择带直线和散点的图形，如下图所示

接着右键单击选择图形区域，然后点击选择数据选项，如下图所示

在弹出的选择数据界面，我们选择第一步制作的数据表区域，如下图所示

最后回到Excel主界面我们就可以看到一次函数图已经绘制好了，如下图所示

描点法画函数图象的一般步骤如下：

Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、判断y不是x的函数的题型：

A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。

B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。

一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

确定函数定义域的方法

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

一次函数在坐标轴上的图像是一条不垂直于x轴的直线。一次函数一般形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，其中x是自变量，y是因变量。k为一次函数y=kx+b的斜率。

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。

斜率k所对应的直线（有无数条，它们彼此平行），但是倾斜角只有一个，就是与x轴夹角α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。倾斜角是90°的直线（即x轴的垂线）没有斜率。

“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量，就这样“函数”这词逐渐盛行。

在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。

一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。

操作方法

掌握一次函数的解析式的特征

它是数与形的有机结合体，kx＋b是关于x的一次二项式，当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。这部分内容有着承上启下的作用。

理解一次函数和其它知识的联系

找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数

解决一次函数的方法

待定系数法，解方程，将求得的待定系数的值代回所设的函数解析式，从而得到所求函数解析式。不要有未知恐惧，觉得自己解不出来，要大胆放手去做。

正确理解函数与方程及不等式之间的联系

在比如说,给两个函数,让求其交点坐标,那就可以把函数联立,化成解方程组的问题,如果让求f1比f2高的区间,就可以在作用域范围内解f1>f2的不等式等等.

一次函数定义：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数，叫一次函数。

（存在条件:①两个变量x、y,②k、b是常数且k≠0,

③自变量x的次数是1，④自变量x的是整式形式）

一次函数与正比例函数关系:正比例函数包含于一次函数，即正比例函数是一次函数；正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

一次函数性质：以下各条性质反之也成立。

①图像形：是一条直线。称为直线y=kx+b

②象限性:

当k＞0、b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不过四象限。

当k＞0、b＜0时，直线经过第一、三、四象限。不过二象限

当k＜0、b＞0时，直线经过第一、二，四象限。不过三象限

当k＜0、b＜0时，直线经过第二，三、四象限。不过一象限

③增减性：当k＞0时，直线从左向右上升，随着x的增大(减小)y也增大(减小)

当k＜0时，直线从左向右下降。随着x的增大(减小)y反而而减小（增大）

④连续性：由于自变量取值是全体实数，所以图像具有连续性。（没有最大或最小值）

⑤截距性;

当b＞0时，直线与y轴交于y轴正半轴(交点位于轴上方)

当b＜0时，直线与y轴交于y轴负半轴(交点位于轴下方)

⑥倾斜性:︱k︱越大，直线越靠向y轴，与x轴正方向的夹角度数越大，越陡。

⑦平移性;直线y=kx+b

当b＞0时，是由直线y=kx向上平移得到的。

当b＜0时，是由直线y=kx向下平移得到的。

⑧平行性：，当时，∥

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。

用待定系数法确定解析式的步骤：

①设函数表达式为：y=kx或y=kx+b

②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程（组）

③解方程或组，求出待定的系数的值。

④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。

注意;正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。而一次函数y=kx+b需要有两个条件。

一次函数与一元一次方程的关系

一元一次方程ax+b=0（a,b为常数，且a≠0）可看作一次函数y=ax+b的函数值是0的一种特例，其解是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标，所以解一元一次方程ax+b=0可以转化为当一次函数y=ax+b的值为0时，求相应自变量x的值，因此可以利用图像来解一元一次方程。

求直线y=kx+b与x轴交点时，可令y=0,得到一元一次方程kx+b=0,解方程得x=－,则－就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。

反过来解一元一次方程也可以看作是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标的值。

一次函数与一元一次不等式的关系

一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0（a,b为常数，且a≠0）可看作一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0的情形，所以解一元一次不等式可以转化为当一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求相应自变量x的范围，因此可以利用图像来解一元一次不等式。

一次函数y=kx+b，当y＞0时，成为一元一次不等式kx+b＞0;

一次函数y=kx+b，当y＜0时，成为一元一次不等式kx+b＜0;

kx+b＞0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为正值时的自变量x的取值范围，对应函数图像在x轴上方；

kx+b＜0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为负值时，自变量x的取值范围，对应函数图像在x轴下方。

一次函数与二元一次方程（组）的关系

每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，对应着一条直线；二元一次方程组可以转化为两个一次函数，对应着两条直线。从“数”的角度看是解方程组的过程，从“形”的角度看，解方程组可以看作两条直线交点坐标，因此可以利用图像来解二元一次方程组。

二元一次方程kx－y+b=0(k≠0)的解与一次函数y=kx+b(k≠0)图像上点坐标是一一对应的。

用图像求二元一次方程（组）的近似解方法

①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：和

②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图像；

③写出交点的横纵坐标，横坐标的值就是方程组x的解，纵坐标的值就是方程组y的解

④写出方程组的解。

一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图所示，当k＞0，b＜O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

一、一次函数的概念

若两个变量像x、y的关系，可以表示成：y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的形式；那么y就叫做x的一次函数；其中，x是自变量，y是因变量。

1．一次函数的解析式的形式是y=kx+b，判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。

2．当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数。

3．当b=0，k=0时，它不是一次函数。

4．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。

二、一次函数的图象和性质

1.图象

2.性质

①在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

②直线y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是

③正比例函数的图象总是过原点。

三、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移；当b

四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），请确定过点A，B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

y₁=kx₁+b…....①

y₂=kx₂+b.......②

（3）解这个二元一次方程，得到k、b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、直线的平移

直线y=kx+b向上平移m(m>0)个单位长度得到直线y=kx+b+m；

直线y=kx+b向下平移m(m＞0)个单位长度得到直线y=kx+b-m；

直线y=kx+b向左平移m(m＞0)个单位长度得到直线y=k(x+m)+b；

直线y=kx+b向右平移m(m＞0)个单位长度得到直线y=k(x一m)+b。

直线平移的规律用八字口诀来形象表示：上加下减，左加右减。

六、直线y=k?x+b?(k?≠0)与y=k?x+b?(k?≠0)的位置关系

（1）两直线平行，可得k?=k?且b?≠b?

（2）两直线相交，可得k?≠k?

（3）两直线重合，可得k?=k?且b?=b?

（4）两直线垂直，可得k?k?=-1

七、常用公式

中考数学辅导：一次函数公式性质

1.在正比例函数时，x与y的商一定。在反比例函数时，x与y的积一定。

在y=kx+b(k，b为常数，k≠0)中，当x增大m倍时，函数值y则增大m倍，反之，当x减少m倍时，函数值y则减少m倍。

2.当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

3.当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0，b)；

当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5.两个一次函数(y1=k1x+b1，y2=k2x+b2)相乘时(k≠0)，得到的的新函数为二次函数，

该函数的对称轴为-(k2b1+k1b2)/(2k1k2)；

当k1，k2正负相同时，二次函数开口向上；

当k1，k2正负相反时，二次函数开口向下。

二次函数与y轴交点为(0，b2b1)。

6.两个一次函数(y1=ax+b，y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比性函数，渐近线为x=-b/a，y=c/a。

一次函数部分的必背知识点

一开始接触“函数”这个概念时还是非常陌生的。因为转眼望去，前面的单元基本是“小学”和“初一”接触过得。而对于“函数”来说确是几乎“一无所知”。只知道初一老师说过“可能性”和“函数”有着密切的关系。翻开这个单元时，真的有点“丈二和尚摸不着头脑”。下面就把一次函数的一些基础知识进行总结，所有的有关一次函数的试题都是以这些知识为基础的深入和变换。

一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b(k≠0)(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)

一次函数的图像及性质

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];

(2)描点;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4.k，b与函数图像所在象限：

y=kx时

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k

当b>0时，直线必通过一、二象限;

当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限

当b

y=kx+b时：

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当k>0,b

当k

当k0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)

确定一次函数的表达式

已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

一次函数部分是历届中考的重要部分，有些同学对这一部分有抵触心理，感觉很难学很害怕学，因此学习过后成绩也很不理想，其实只要牢记这些基础知识再加以灵活的运用，相信一次函数也就没那么可怕了!

一次函数

一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)

①k不为零

②x指数为1

③b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b/k，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)

（2）必过点：（0，b）和（-b/k，0）

（3）走向：

k>0，图象经过第一、三象限；k

b>0，图象经过第一、二象限；b

图片直线经过第一、二、三象限

图片直线经过第一、三、四象限

图片直线经过第一、二、四象限

图片直线经过第二、三、四象限

（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b

用待定系数法确定一次函数表达式一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值，得到函数表达式．

思想方法小结（1）函数方法．（2）数形结合法．

知识规律小结（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．

①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．

②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交．

③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；

当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限

一、知识框架

二、知识梳理与拓展应用

（一）函数

1．常量与变量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫作变量，数值保持不变的量叫作常量。如：在行程问题中，当速度υ保持不变时，行走的路程s与时间t是变量，速度v是常量。

关键提醒：

(1)变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程，比如s、v、t三者之间，在不同的研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的。

(2)常量、变量与字母的指数没有关系，如

S＝πr2中，不能说自变量是r2

2．函数的概念

函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于π的每一确定的值，都有唯一确定的值ν与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值。

关键提醒：

对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：

①有两个变量。

②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。

③每确定一个自变量的值，函数有且只有一个值与之对应(但可以有多个自变量数值对应一个函数值)。

3．自变量取值范围的确定

在整式中，自变量为全体实数；分式中满足分母不为零；开偶次方根满足被开方数是非负数；在零指数幂中，底数不为零；在实际问题中，要满足实际的意义。在具体问题中，一般要综合上述几种情况同时考虑。

关键提醒：

自变量的取值范围可能是有限的，也可能是无限的，还可能是单独个(或几个)数的；在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。

4．函数的表示方法

数的表示方法有三种：解析法、列表法和图像法。

(1)解析法：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫作解析法。

关键提醒：

解析法的优点是简单明了的反映自变量与因变量的关系，不足是有的函数关系不一定能用解析法表示出来。

(2)列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫作列表法。

关键提醒：

列表法的优点是一目了然，使用方便，不足是其列出的对应值是有限的，而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。

(3)图像法：用图像表示函数关系的方法叫作图像法。

关键提醒：

图像法的优点是形象直观，不足是图像是近似的、局部的。

5．函数的图像

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

关键提醒：

①：函数图像上的点(x，y)与函数自变量x及对应函数值y的关系函数图像上任意一点P(x，y)中的x和y的值满足函数关系式；满足函数关系式的x与y构成的点(x，y)必定在函数图像上。

②：判断点(x，y)是否在函数图像上的方法是：将点的坐标(x，y)代入函数关系式，即自变量等于横坐标x，函数值等于纵坐标y，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图像上，否则这个点就不在函数图像上。

（二）一次函数

1．一次函数和正比例函数的概念

(1)一次函数：一般地，形如y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，且k≠0)，y叫作x的正比例函数，由此可以看出，正比例函数是一种特殊的一次函数。

知识拓展：

自变量的取值范围是任意实数；k≠0这个条件不可忽略。

2．一次函数解析式的求法

待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知系数的值，从而具体写出这个式子的方法，叫作待定系数法。

关键提醒：

(1)在正比例函数y＝kx(k≠0，且k为常数)中，只有一个待定系数，所以确定正比例函数的解析式只需要一个条件即可。

(2)在一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)中，有两个待定系数k和b，因此确定一次函数的解析式需要两个条件。

(3)要求k和b也可以利用图像、文字信息建立k和b的二元一次方程组，求出k和b即可求出一次函数解析式。

3．从实际问题中确定一次函数的解析式(重点)

确定实际问题中的函数解析式一般与列方程解应用题类似。首先根据题意列出关于两个变量的二元一次方程，再用含有自变量的式子表示函数，建立函数关系式时，要注意自变量的取值范围。

4．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像及性质，如表1所示。

表1

5．正比例函数y＝kx(k≠0)图像与一次函数图像的关系

（1）将直线y＝kx沿y轴向上(或向下)平移|b|个单位，得到y＝kx＋b的图像，当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移。

（2）直线y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的关系：当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行；当k1≠k2时，两直线相交；当k1＝k2，b1＝b2时，两直线重合。

6．一次函数的应用

一次函数是刻画现实世界事物间关系的简单数学模型，其应用非常广泛。如现实生活中的电费、水费、电话费、纳税、储蓄、行程、工程等问题，它们都是应用一次函数很好的实例。解决这类问题，常常根据题目所提供的信息，建立一次函数关系式，然后根据一次函数的性质，并综合运用一次方程和一元一次不等式等知识解决问题。

7.一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值。

关键提醒：

在一次函数y＝kx十b中，y如果等于某一个确定的值，求自变量x的值，就要解一元一次方程。

8．一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为

ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围。

知识拓展

解一元一次不等式可转化为比较直线上点的位置的高低

9．一次函数与二元一次方程组

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

（三）运用一次函数解决方案选择问题

运用一次函数解决实际问题中方案的选择问题，实际上是比较两个函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的函数值大小的问题。

比较y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的函数值大小的常见方法有两种：代数法和图像法。

关键提醒：

两个函数的图像在同一坐标系中，图像在交点处时，两个函数中横纵坐标值分别相等。哪一段图像在上方，则在这一段，哪个图像对应的函数值就大；反之亦然。