数学中的直角坐标系合集20篇

5像秤钩，就是买菜称重量的那个秤钩。5是自然数之一，位于4与6之间，它还是圆周率的第4、第8、第10位小数。

5像什么图案

小学学习数字的时候就学过1-10的数字歌，儿歌内容大致是1像铅笔细又长，2像小鸭水上漂，3像耳朵听声音，4像红旗迎风飘，5像秤钩称东西，6像豆芽咧嘴笑，7像镰刀割青草，8像葫芦能做瓢，9像勺子能吃饭，10像鸡蛋加油条。把数字形象化就更容易记住了，也便于书写。

在数学中，5是斐波那契数，是2+3，且是在素数数列中相邻，在Fibonacci数列也相邻的三个素数中的最后一个，5亦是沛尔数。5是最小的可以分解为两个不同素数之和的正整数，在十进制中，它是唯一一个以5字为个位数字的素数，因为其他以5字为个位数字的数均为5的倍数。

唐僧师徒们一直扎营到智慧山的山顶。他们看到一座高耸入云的巨大城堡。镶嵌着宝石的三个字“智慧宫”在阳光下闪闪发光。猪高兴地跑到宫殿的门口，敲打着门，大声喊着，“开门，开门！我们是来取经的。”“猪，小心隐藏的武器！”悟空飞身上前，将八戒推开。然而，从门缝射出的激光束仍然烧着了猪的衣服。八戒闷闷不乐道:“不要让人进来，放火烧人。看看我是否没有打破你的门。”说着，八戒用力一钯，门“砰”的一声，不动了，被八戒远远赶了出去。唐僧:“八戒，不要无礼。”唐僧走上前，看见门上有一个公式:

阿布。2

×光盘。E

6 * *

* * *

1 * *.6 0

还有一行:“要进入这个门，首先要问密码ABCDE”。

八戒:“本来，我想用密码开门。为什么我没有早点出现？我的老猪几乎被烤焦了。主人，你说密码是什么？”唐僧:“从积的位置是0，只有2×5=10，我们知道E是5。从垂直部分积的排列中，我们知道D是0，积的最高位置是1，我们知道A和C都是1，根据积的第十个位置是6，我们知道B是3。”八戒听了道:“哈哈，密码是老猪按的。”八戒按下“13105”，看见紧闭的门缓缓打开。

1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算。

2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。

3.有理数混合运算的四种运算技巧：

①转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算；

②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解；

③分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算；

④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便。

海外部又矮又胖的经理射中了米切尔的右手腕，扔掉了他的冲锋枪，从某个地方逃走了。罗科拿起冲锋枪，极其高兴。

白发老人说，“先别担心那个矮胖的经理。拿出宝藏很重要！”

罗科指着一个大铁柜说，“宝藏可能藏在这个保险箱里。”

白发苍苍的老人走过去，看到保险箱使用了一把密码锁，三颗小的可旋转的牙齿并排排列，每颗牙齿可以显示10个从0到9的数字。

米切尔说:“这个密码锁相对简单。只要你得到正确的三位数，就可以打开它。”

“没那么简单。”罗科说，“一颗小牙齿有10个不同的数字，从0到9。两个小齿有10×10=100个不同的数字；现在有三颗小牙齿，将会有103 = 1000个不同的数字。计算出这1000个不同的三位数需要一段时间！”

白发老人说，“太晚了。嘿，看，这是什么？”

米切尔和罗科仔细看了看，发现密码锁上面有一个公式:

米切尔说:“这是一个奇怪的计算。”

罗科点点头说，“我知道，这是费马数n=5。”

“费马号？费马数是多少？”白发老人不明白。

"费马是17世纪法国著名的数学家。"罗科开始介绍费马和费马，”他找到了一个公式:

他认为n依次取0，1，2和3？？用这个公式计算的数字是质数。"

米切尔问道，“他证明了吗？”

"没有.他只核对了前五个这样的数字. "罗科记下了前5个数字:

罗科接着说:“前五个数字是质数。第六个数字太大，Fermat无法继续。然而，费马断言，对于其他自然数n，这种形式的数也必须是素数。后来，数学家把-4形式的数称为费马数，并记为F(n). "

白发老人焦虑地问道，“费尔玛老人的断言正确吗？”

“不！”洛克说，“当著名的瑞士数学家欧拉在18世纪发现n=5时，F(5)不是质数。我仍然清楚地记得F(5)的值:

因此，它是一个复合数。"

米切尔笑着说:“费马太武断了。只数了前五个，他敢说任何自然数都是真的！”

“还有一些有趣的东西！”罗科说，数学家继续计算出46个费马数作为合成数，以及一些费马数，如等。暂时不在。

确定它是一个复合数还是一个质数。但是有一点是肯定的，当n >4时，没有发现费马数是质数。一些数学家猜测，除了n=0，1，2，3和4，F(n)是一个复合数。"

“哈哈？？”白发老人笑着说:“这真的很有趣。和你一起，一个伟大的数学家，我真的很有学问！”

“故事讲完了，我还找到了打开保险箱的密码。这是641。”罗科说，他把三个小齿轮调到641，然后用力拉，安全门打开了。宝盒确实在里面。

米切尔说:“多亏了这里的一位伟大的数学家，否则，这个10位数，谁会把它分解成质因数！”

罗科说:“电子国家L珠宝公司使用最新的‘RSA’密码系统。这个密码系统是秘密特工使用的高级密码系统。破译这种代码需要能够将一个80位数分解成质因数的乘积。然而，很难将一个大数分解成素因子的连续乘积。"

白发老人点点头说:“即使是特工也有数学方面的想法。来吧，我们把宝箱搬出来。”

罗科说:“让米切尔和我来搬。”然而，当这两个人向外举起盒子时，他们的脸变了。罗科迅速打开盒子，看了看，啊！盒子是空的，财宝不见了！

罗科转过他的眼睛说，“这是不可能的！我自己把宝盒放进了保险箱。当时，这个宝箱相当重。怎么过了一会儿，盒子里所有的财宝都不见了？”

米切尔恶毒地跺着脚说:“这是一个魔术。”

白发老人探进保险柜，用拳头砸了砸底部，发出“咚，咚”的声音。白发老人指着柜子的底部说:“这就是问题所在。机柜底部是空的，这表示机柜底部是活动的，底部是空的。你可以打开柜子的底部，从下面取出宝盒，当宝盒被拿出来的时候，把宝盒放回保险柜里。”

罗克和米切尔都很欣赏白发老人的分析。罗科补充道:“那个矮胖的经理手腕中枪，然后突然消失了。他可能从地上跑了。这些楼层中的许多可能还活着。”

罗克在房间里走来走去，一边走一边跺着地板，试图找出哪一层是空的。当他走到房间中央，跺着地板时，地板突然翻了。罗克喊道，“哦，我的上帝！”他立刻摔倒在地板下。

白发老人和米切尔看着罗科倒下，已经来不及救他了。

12.1轴对称(2)

合作探究

探究二：如图6，PA=PB，取线段AB的中点O，连结PO，PO与AB有怎样的位置关系?

注：由于教科书第122页上的探究活动实际上是这样的一个数学问题：“如图6，已知OA=OB，PA，PB满足什么条件时，OP⊥AB?”这与上述命题的逆命题不完全一致，所以本设计改用直接的数学问题．

学生可以运用三角形全等的知识判定△PAO≌△PBO，从而有∠POA＝∠POB＝90°，于是PO⊥AB，即PO是线段AB的垂直平分线．从而得出：

与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

考点：确定事件和随机事件

考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.

考点：事件发生的可能性大小，事件的概率

考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意：(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.

考点：等可能试验中事件的概率问题及概率计算

本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.

在求解概率问题中要注意：(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.

考点：数据整理与统计图表

本考点考核要求是：(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.

考点：统计的含义

本考点的考核要求是：(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.

考点：平均数、加权平均数的概念和计算

本考点的考核要是：(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.

考点：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算

考核要求：(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.

注意：当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.

考点：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图

考核要求：(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.

考点：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用

本考点的考核要是：(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.

有一天，八一觉得果树太密了，影响了它们的生长。他想砍掉一些。于是他打电话给长期工人，对长期工人说:“每排只剩下五排四棵树，其余的都要砍掉。”然后他离开了。龙工恨八一，想找个机会教训他一顿。当这位老工人准备对付八一队时，他看到两代情骑着驴唱歌。工头立即告诉两代情他在想什么，并让他想办法给八一一个教训。阿凡提看着这些果树的排列，灵机一动，想出了一个办法来告诉这位长工。长工非常高兴，他举起斧头砍倒了它。过了一会儿，八一过来看看。他看到这一幕非常愤怒，诅咒这个长期工作的混蛋。原来果树几乎被砍倒了。只剩下10个了，39个被砍掉了。他生气地问工头，“你为什么剪这么多？你不想留下20棵树吗？”工头回答道:“我的主人，你没说过你会留下20棵树！你不是说每排留5排和4棵树吗？你看，我照我说的做了！”

八一看到每排的确有5排4棵树。虽然他很生气，但他无话可说。

两代情告诉长期员工的聪明方法是什么？孩子们，试着画画。

数学故事——假儿子

在美国匹兹堡，一个百万富翁很老了。他唯一的儿子在第二次世界大战中失踪，没有人继承他的财产。当这个富人快要死的时候，有人自称是他自己的儿子，从远处回来了。富人无言以对，很快就死了。这个人要求继承遗产，并向其他人郑重地陈述了这个家庭的过去和其他情况。警方对此表示怀疑，只检查了他的血型，并轻易否认他是一个富人的独生子。

检查结果是:百万富翁的血型是甲型；富人已故妻子的血型也是A型，“独生子”的血型也是b型

为什么这个人不能成为一个富人的独生子？

答案如下:

根据血型研究，父母血型和子女血型之间只能有以下关系:

父母和子女的血型

氧代氧

AxA A或o

BxB B或o

AxB A、B、AB、O

AxAB

BxAB A、B、AB

ABxAB

OxAB A或b

二、例题分析：

例1．已知P(m,n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1,n-1)是否在函数y=-图象上。

分析：P(m,n)是图象上一点，说明P(m,n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m,x1x2=n,由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m,n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m,n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。

解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，

∴n=-m+1,∴m+n=1.

设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,

∴x12+x22=1,

又∵x1+x2=-m,x1x2=n,

∴(x1+x2)2-2x1x2=1,即m2-2n=1

由解这个方程组得：或。

把m=-3,n=4代入x2+mx+n=0,

x2-3x+4=0,Δ

∴m=-3,n=4(舍去).

把m=1,n=0代入x2+mx+n=0,

x2+x=0,Δ>0

∴点N（2，-1），

把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.

∴点N（2，-1）不在图象y=-上。

说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3,n=4时，Δ

数学符号如同一座公路桥梁，其功效显而易见。根据应用数学符号我们可以表述出数学世界中复杂多变的逻辑顺序，那麼大伙儿是不是了解这种符号的来源于呢？

符号是大家承诺用于指称一定目标的标识物。大家一直探寻用简易的标记去主要表现繁杂的事情，因此造成了各种各样符号。而数学符号，则是数学学科专业应用的独特符号，它能够使思维训练全过程更为精确、归纳、简要、形象化，便于表述数学课目标的实质。可以说，不把握数学符号，就难以接纳数学思维训练、开展数学课科学研究，更难以表述思维训练。

一般来说，数据符号的来源于大概有下列四种：立即用字母表明，如常见小写字母的拉丁字母前边的字母a，b，c，d等表明已知数，用后边的字母x，y，z等表明未知量；由字母或英语单词演化而成，如减号“-”是由“minus”简称为“m”演化而成；人为因素地造就或从别的符号中使用，如>、

数学符号的出現和应用比数据晚，但总数上远远超过数据，如今常见的就会有200好几个。初中数学书里也是有下不来20种，他们都是有各有趣味的亲身经历。

加和减是人们最开始把握的二种数学课运算，人们最初期的文本记述中就拥有交互运算。因为我国古代重视运用专用工具运算，只纪录运算的結果，因此 一般沒有数学符号。但是，古代埃及和古希腊文化都选用了不一样的符号来表明减号和减号。

数学中的很多代数符号，是由法国数学家韦达造就的，大家了解的“韦达定理”就是用他的名字取名的。他承继了先人工作经验，从一些名人的经典著作中获得了应用字母、简称代数的观念方式 ，构建了很多的符号，用字母替代未知量和未知量的乘幂，也用字母表明一般的指数。他的这套作法被之后的笛卡儿等干了改善，变成了当代代数的方式。

三角函数和圆周率符号的应用，则与数学家欧拉相关。他除开明确提出过知名的“欧拉公式”，还开创了很多新的符号。例如，是他创新用sin、cos 等表明三角函数，用e表明自然对数的底，用f(x)表明涵数，用i表明虚数等。虽然大家熟识的圆周率π不是由他创新，但也是历经他的提倡才足以普遍时兴的。

数学符号简约、清楚，有益于撰写、分辨、运算及论述，且表意文字精确，能防止文本描述所造成的模棱两可。值得一提的是，数学符号抽象性水平高，有益于归纳数学课目标，表明一般规律性。能够那样说，数学符号的应用是促进数学课发展趋势的本质驱动力要素之一。

图2图3悟空一本正经地说:“我有空的时候没事做。我已经重新安排了。他们有很多。去摘些水果吧。”八戒收了野葡萄，转身含盐而走。

八戒走开了，悟空捂住嘴笑了，“好书呆子！最初的安排有16个桃子。经过这样的变化，我只剩下12个桃子了。”他从口袋里拿出四个桃子，看着它们，然后从方阵里拿出两个桃子，把它们藏在一起。

眨眼间，八戒又回到了一口袋野山梨。他不敢相信自己的眼睛。"为什么，只剩下这么多桃子了？"

“很多，很多！”悟空指着桃子说:“两边各五个，你自己数吧！”

猪每边数了五个桃子。八戒拍了拍脑袋，心想，发生了什么事？

数学童话——狐狸卖鸡蛋

西瓜不能卖。这只跛脚狐狸转而卖鸡蛋。

跛足的狐狸守护着许多盒子的鸡蛋，并喊道:“买鸡蛋！新鲜鸡蛋！买得更便宜！”

突然，传来一声低沉的哭声。跛足的狐狸往里看，看见一只大公鸡抱着一只哭泣的母鸡向这边走来。

狐狸急忙打招呼:“请买些新鲜鸡蛋！”

听到“新鲜鸡蛋”这个词，母鸡大哭起来。母鸡的叫声把跛足的狐狸弄糊涂了。

狐狸看上去不高兴。他说:“今天我第一天卖鸡蛋，你在我的摊位前哭着闹着玩。真是不幸！”

达公基连忙解释道，“我妻子几天前下了一窝蛋。她不小心被小偷偷走了。她非常难过。”

听到“偷窃”这个词，狐狸大吃一惊。他很快解释道:“人们常说狐狸偷鸡，但没人说狐狸偷鸡蛋。我买了鸡蛋，不是你！”

那只瘸腿的狐狸眼珠一转，立刻变了脸。他对着母鸡笑了笑，说道:“别哭！你丢了鸡蛋，是吗？我这里有很多鸡蛋。买一些回去孵化，以确保你有一个完整的家庭。”

听到狐狸说的话，母鸡立刻大哭起来，笑了。她立刻买了10个蛋，回到她的窝里快乐地孵蛋。

就在母鸡要离开的时候，狐狸发出一声大笑。他咧嘴一笑，说道:“我从养鸡场买了所有的鸡蛋。这个养鸡场里没有公鸡。这个蛋根本不能孵小鸡！”

母鸡一连好几天都回去孵蛋，蛋甚至都不动。几天后，鸡蛋开始发臭，母鸡知道自己被狐狸骗了。公鸡和母鸡报复狐狸！

狐狸拒绝承认，但是公鸡和母鸡拒绝了。狐狸的眉头皱了起来，他的计谋出现了。

狐狸说，“我们开始吧！我愿意给你这1000个鸡蛋作为补偿。只有一个条件。”

公鸡问:“什么条件？”

狐狸说:“你必须把这1000个鸡蛋拿走五次。每次取的鸡蛋数量是8个。8个多幸运，8个是头发！发财！”

公鸡和母鸡，如果你看着我，我看着你，没有人会数。突然，“哔”的一声，一个小纸球从树上掉了下来。一只猴子从树上消失了。

公鸡拿起纸团，立即大叫一声，对狐狸说:“先给我八个蛋。”

狐狸答应了:“你再给我88个蛋。”狐狸答应了:“你给了我888个鸡蛋多少次了？”

狐狸说:“三次！”

母鸡走过来说:“只剩下两只了。轮到我了！”你给我八个鸡蛋，再给我八个。"

狐狸的眼睛都红了。他做了一个加法:8+88+888+8+8=1000。狐狸大叫一声，瘫倒在地上。

实数

有理数和无理数统称实数

1、有理数：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

实数的有关概念

一、科学记数法

1、定义：将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|

2、快速科学记数的方法

（1）大于10的数的表示方法

对于10的指数大于0的情形，数出“除了第一位以外的数位”的个数，即代表0的个数。

如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科学记数法写作1.8×1012

（2）小于0的数的表示方法

10的指数小于0的情形，数出“非有效零的总数（第一个非零数字前的所有零的总数）”

如0.00934593，第一位非零数字（有效数字）9前面有3个零，科学记数法写作9.34593*10-3。即第一位非零数字前的0的个数为n，就为10-n

二、数轴

1、定义

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求:(1)在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1(向右1个单位长度)，2(向右2个单位长度)，3(向右3个单位长度)，…;从原点向左，用类似方法依次表示-1(向左1个单位长度)，-2(向左2个单位长度)，-3(向左3个单位长度)…

在数轴上，除了数0要用原点表示外，要表示任何一个不为0的有理数，根据这个数的正负号确定它所在数轴的哪一边(通常正数在原点的右边，负数在原点的左边)，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后画上相应的点。

2、几何意义

数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可。

1)从原点出发，朝正方向的射线(正半轴)上的点对应正数，相反方向的射线(负半轴)上的点对应负数，原点对应零。

2)在数轴上表示的两个数，正方向的数总比另一边的数大。

3)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

注:单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度"1"，那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米，厘米，毫米等表示长度的单位。

二者不容混淆。

数轴上的点和数是一一对应的。(任何一个数，包括虚数，都可以用数轴上的一个点来表示。)

数轴的正方向一般向右，但也不排除向左的可能，而且越靠近正方向的数越大，相反离正方向越远的数越小。

画数轴时一般要先画横线和正方向，其次画零，再根据题意画单位长度。

相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中的一个数叫做另一个数的相反数。

(a≠0)a的相反数是-a，0的相反数是0。

绝对值

在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。

公式|a|=?

若a大于0，则a的绝对值还等于a;

若a等于0，则a的绝对值等于0;

若a小于0，则a的绝对值等于-a。

性质:绝对值有非负性

倒数

1、倒数是指乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。

2、倒数的特点:一个正实数(1除外)加上它的倒数一定大于2.一个负实数(-1除外)加上它的倒数一定小于-2.

实数的大小的比较

1、一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。

说明:数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

2、关于二次根式的大小的比较

如a√b与c√d的比较，先将其转化为√a2b与√c2d的形式，再比较a2b与c2d的大小，谁大谁的被开方数也就大

实数的运算

一、乘方

求n个相同因数的积的运算，叫乘方

如an=a×a×a×......×a（n个a相乘）

二、开方

1、平方根与算术平方根

1.平方根

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。比如9的平方根是3和-3。

零的平方根是0。负数没有实数平方根。

2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如9的算术平方根是3。规定,零的算术平方根是0。

算术平方根是定义在平方根基础上，因此负数没有算术平方根。

2、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根

其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)

中考必考题型

题型一正负数的意义

1、陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8844m，记作+8844m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面415m，记作（）

A+415mB-415mC415mD-8844m

分析：根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，高出海平面为正时，低于海平面记为负

答案：B

题型二倒数、相反数、绝对值

2、负实数a的倒数是（）

A-aB1/aC-1/aDa

分析：互为倒数的两个数的乘积等于1

答案：B

3、|-3|的相反数是（）

A3B-3C1/3D-1/3

答案B

题型三实数的大小比较

4、下列各数中，最小的实数是（）

A-√3B-1/2C-2D1/3

答案：C

题型四科学记数法

5、据不完全统计，全国每年浪费的食物若折合成粮食可养活约350000000人，将350000000用科学记数法可表示为（）

A3.5×1010B3.5×109

C3.5×108D3.5×107

题型五数轴

6、如图所示，数轴上的A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）

A（a-1）（b-1）＞0B（b-1）（c-1）＞0

C（a+1）（b+1）＜0D（b+1）（c+1）＜0

分析：根据题意得C＜-1＜0＜a＜1＜b，所以（a-1）（b-1）＜0，（b-1）（c-1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（b+1）（c+1）＜0

答案：D

题型六实数的运算

7、计算（√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

解（√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

=1+（-3）+√2-2-√2=-4

有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

科学计数法

数学术语，a×10的n次幂的形式。

将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|

用幂的形式，有时可以方便的表示日常生活中遇到的一些较大的数，如：光的速度大约是300000000米/秒；全世界人口数大约是：6100000000人。

常在物理上见到这样的大数，读、写都很不方便，考虑到10的幂有如下特点：在一般情况下，10的n次幂，在1的后面就有n个0，所以这样就可用10的幂表示一些大数，如：6100000000=6.1×10^9

猪虽然很胖，但他爬楼梯很快。他第一个爬到二楼，兴奋地说:“主人，快来。智慧佛经就在这些房间里。”悟空提醒八戒:“不要开门，小心暗藏的武器！”八戒听说有暗器，急忙躲在唐僧背后。沙僧数了十个房间。每个房间的门都关着。他问唐僧:“师父，智慧在哪里？”

唐僧看到每扇门前都有一些漂亮的鹅卵石和一台称重机。称重机旁边有一张纸，上面写着:“每扇门里有10颗鹅卵石，其中9扇门前的鹅卵石重50克，另一扇门前的鹅卵石重49克。如果你一次重49克，智慧经就藏在这个房间里。”

悟空小心地称了称门前的鹅卵石，对唐僧说:“有一克的差别。它只能再次称重。这太难了。”唐僧想了一会儿，说:“猪，你可以拿一个，两个...从1号门到10号门依次有9颗和10颗鹅卵石，把它们放在一起称重。”八戒称了称后说，“师傅，它重2742克。”唐僧:“那就打开第八间房。”八戒道:“师父，你怎么知道是第八间房？”唐僧说:“我们轮流拿1到10颗鹅卵石，假设每颗50克，它应该有2750克重。现在只有2742克，少了8克。这意味着8号门前的鹅卵石每颗重达49克。”八戒称赞道:“师父，你真有兴趣。我会帮你开门的。”

初中数学四边形知识点

一、平行四边形的定义、性质及判定

1.两组对边平行的四边形是平行四边形.

2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.

3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

4.对称性：平行四边形是中心对称图形.

二、矩形的定义、性质及判定

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.

3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.

4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.

三、菱形的定义、性质及判定

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.性质：(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：

3.判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形.

要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。(这就是定义证明)。

法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。(这是判定定理2)

法三：只需证出四边都相等。(这是判定定理1)

四、正方形定义、性质及判定

1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等;(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;(4)正方形的对角线与边的夹角是45°;(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

3.判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等;(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角.

4.对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形.

要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等;第二步证出有一个角是直角;第三步证出是平行四边形。(这是用定义证明)

方法二：第一步证出对角线互相垂直;第二步证出是矩形。(这是判定定理1)

方法三：第一步证出对角线相等;第二步证出是菱形。(这是判定定理2)

五、梯形的性质及判定

1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形.两腰相等的梯形是等腰梯形;一腰垂直于底的梯形是直角梯形.

2.等腰梯形的性质：等腰梯形的两腰相等;同一底上的两个角相等;两条对角线相等;等腰梯形是轴对称图形.

3.等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

六、中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半;梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半.

1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。

2.梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

3.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

4.梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

七、重心

线段的重心是线段的中点;平行四边形的重心是两对角线的交点;三角形的重心是三条中线的交点.

八、中点四边形

依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

九、多边形的面积

多边形的面积常用的求法有：

(1)将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。

(2)将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。

(3)将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

常见考法

四边形与三角形复习要求是能运用这些图形进行镶嵌，能根据图形的条件把四边形面积等分.能够对特殊四边形的判定方法与联系深刻理解.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法.掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用.

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题.结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.同时，四边形的概念建立在三角形的基础上，是知识的拓展与深化.研究它的性质，常常是将四边形转化成若干三角形，通过三角形的性质来研究，或者是运用作辅助线的方法将四边形转化成三角形和平行四边形来讨论.

至于矩形、菱形、正方形的性质是在平行四边形的基础上扩充的.它们的判定方法也是在平行四边形的基础上增加一些特定的条件.梯形也是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合.

通过适当的添设辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识解决梯形的有关问题.

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初中数学中概率学习的难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小.

解决策略：

(1)事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，现在开始力求精确，尽可能用数字说话，学生原有的知识经验难以支撑，为认知同化造成困难.

(2)学生判断事件发生的可能性大小，还离不开自己的生活经验，往往带有感情色彩，错误的经验与现实结论的冲突，排斥着新观念、新知识的建立，也会成为学生认知顺应的障碍.

解决策略：

(1)充分利用学生的生活经验和认知基础，用学生身边的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，不惜时间让学生亲身经历，引导学生自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出新概念容易被学生原认知结构所同化.

(2)有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生的可能性与个人的愿望无关.

初中数学中概率学习的难点之二：对等可能的理解。学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件：等可能。

解决策略：教学时，只需要通过例子感知一下"等可能"和"不等可能"即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

工程师、物理学家和数学家同时被赋予了在墙上钉钉子的任务。

工程师们制造了一种通用钉枪，也就是说，一种可以将任何可能的钉子钉进任何可能的墙壁的机器。

物理学家对锤子、钉子和墙壁的强度进行了一系列测试，然后开发了一项革命性的技术——超低温超声波钉钉。

数学家把这个问题推广到了N维空间，并考虑了纽结穿透N-1维超壁的1维钉的问题。许多基本定理已经被证明了...当然，这个话题的深度使得简单解决方案的存在远非显而易见。

拔尖题

13．已知抛物线y＝1a(x－2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

(1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，解答下列问题；

①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．

14．已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1

(1)求证：n＋4m＝0；

(2)求m，n的值；

(3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

15．在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴与B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，－5)．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明；

(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：

13．解：(1)将M(－2，－2)代入抛物线解析式，得

－2＝1a(－2－2)(－2＋a)，

解得a＝4.

(2)①由(1)，得y＝14(x－2)(x＋4)，

当y＝0时，得0＝14(x－2)(x＋4)，

解得x1＝2，x2＝－4.

∵点B在点C的左侧，∴B(－4,0)，C(2,0)．

当x＝0时，得y＝－2，即E(0，－2)．

∴S△BCE＝12×6×2＝6.

②由抛物线解析式y＝14(x－2)(x＋4)，得对称轴为直线x＝－1，

根据C与B关于抛物线对称轴x＝－1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．

设直线BE的解析式为y＝kx＋b，

将B(－4,0)与E(0，－2)代入，得－4k＋b＝0，b＝－2，

解得k＝－12，b＝－2.∴直线BE的解析式为y＝－12x－2.

将x＝－1代入，得y＝12－2＝－32，

则点H－1，－32.

14．(1)证明：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x＝2，即－n2m＝2，

化简，得n＋4m＝0.

(2)解：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2，

∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm.

令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

由三角函数定义，得tan∠CAO＝OCOA＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2.

∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1.

化简，得x1＋x2x1?x2＝－1|p|.

将x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm代入，得－nmpm＝－1|p|化简，得?n＝p|p|＝±1.

由(1)知n＋4m＝0，

∴当n＝1时，m＝－14；当n＝－1时，m＝14.

∴m，n的值为：m＝14，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－14，n＝1(此时抛物线开口向下)．

(3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－14，

∴抛物线解析式为：y＝－14x2＋x＋p.

联立抛物线y＝－14x2＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到－14x2＋x＋p＝x＋3，

化简，得x2－4(p－3)＝0.

∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，

即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

∴y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4.

当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.

15．解：(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋4，

此抛物线过点A(0，－5)，

∴－5＝a(0－3)2＋4，∴a＝－1.

∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋4，

即y＝－x2＋6x－5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离．

证明：令y＝0，即－x2＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

∴B(1,0)，C(5,0)．

设切点为E，连接CE，

由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴ABBC＝OBCE，即12＋524＝1CE，

解得CE＝426.

∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r＝d＝426.

又点C到抛物线对称轴的距离为5－3＝2，而2>426.

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离．

(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，

∵A(0，－5)，C(5,0)，

∴AC2＝50，

AP2＝(xp－0)2＋(yp＋5)2＝x2p＋y2p＋10yp＋25，CP2＝(xp－5)2＋(yp－0)2＝x2p＋y2p－10xp＋25.

①当∠A＝90°时，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC2＋AP2＝CP2，

∴50＋x2p＋y2p＋10yp＋25＝x2p＋y2p－10xp＋25，

整理，得xp＋yp＋5＝0.

∵点P(xp，yp)在抛物线y＝－x2＋6x－5上，

∴yp＝－x2p＋6xp－5.

∴xp＋(－x2p＋6xp－5)＋5＝0，

解得xp＝7或xp＝0，∴yp＝－12或yp＝－5.

∴点P为(7，－12)或(0，－5)(舍去)．

②当∠C＝90°时，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC2＋CP2＝AP2，

∴50＋x2p＋y2p－10xp＋25＝x2p＋y2p＋10yp＋25，

整理，得xp＋yp－5＝0.

∵点P(xp，yp)在抛物线y＝－x2＋6x－5上，

∴yp＝－x2p＋6xp－5，

∴xp＋(－x2p＋6xp－5)－5＝0，

解得xp＝2或xp＝5，∴yp＝3或yp＝0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，－12)或(2,3)．

如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：

依次按键2ndf、sin，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．

还可以利用2ndf、°、’、”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．

使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．