数学二次函数题及答案(实用20篇)

11（2014o丽水，第10题3分），AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）

考点：全等三角形的判定与性质；函数关系式；相似三角形的判定与性质．.

分析：作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．

解答：

解：作FG⊥BC于G，

∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠DBE=90°；

∴∠BDE=∠FEG，

在△DBE与△EGF中

∴△DBE≌△EGF，

∴EG=DB，FG=BE=x，

∴EG=DB=2BE=2x，

∴GC=y﹣3x，

∵FG⊥BC，AB⊥BC，

∴FG∥AB，

CG：BC=FG：AB，

即=，

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的关键．

什么是高三数学函数解题方法?今天小编为大家推荐高三数学函数解题方法，希望大家在学习的路上越来越好。

高考数学五大主要解题思路

高考数学解题思想一：函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

高考数学解题思想二：数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

高考数学解题思想三：特殊与一般的思想

用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

高考数学解题思想四：极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

高考数学解题思想五：分类讨论思想

我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

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高三数学函数解题方法是什么

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y1｝)

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

五.值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()

A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

(答案：D)。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为-2x+1(x≤1)

y=3(-1

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1(t≥0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

二次函数的概念

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

4、二次函数的解析式（10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

注意：抛物线位置由决定．

(1)决定抛物线的开口方向

①开口向上．

②开口向下．

(2)决定抛物线与y轴交点的位置．

①图象与y轴交点在x轴上方．

②图象过原点．

③图象与y轴交点在x轴下方．

(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)

①同号对称轴在y轴左侧．

②对称轴是y轴．

③异号对称轴在y轴右侧．

(4)顶点坐标．

(5)决定抛物线与x轴的交点情况．、

①△>0抛物线与x轴有两个不同交点．

②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)．

③△

(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断．

①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值．

②当a

（7）的符号的判定：

表达式，请代值，对应y值定正负；

对称轴，用处多，三种式子相约；

轴两侧判，左同右异中为0；

1的两侧判，左同右异中为0；

-1两侧判，左异右同中为0.

（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。

（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。

（10）结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0；

②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；

③二次函数(经过原点，则。

（11）二次函数的解析式：

①一般式：(，用于已知三点。

②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。

（3）交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。

5、二次函数的最值（10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

6、二次函数的性质

二次函数的性质函数二次函数图像a>0a

0xy0x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

7、二次函数中，的含义：

表示开口方向：>0时，抛物线开口向上

与对称轴有关：对称轴为x=

表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）

8、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当

1、反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数k的符号k>0k

y的取值范围是y0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k

在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、的几何意义

设是反比例函数图象上任一点，过点P作轴、轴的垂线，垂足为A，则

（1）△OPA的面积．

（2）矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义．并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

基础题

1．若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点()

A．(2,4) B．(－2，－4) C．(－4,2)D．(4，－2)

2．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为()

A．b＝2，c＝－6B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝2

3．，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是()

A．abc＜0B．2a＋b＜0 C．a－b＋c＜0 D．4ac－b2＜0

4．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图3-4-12，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是()

5．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是()

A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1

C．当x＝1时，y的最大值为－4D．抛物线与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：

x…－3－2－101…

y…－3－2－3－6－11…

则该函数图象的顶点坐标为()

A．(－3，－3)B．(－2，－2)C．(－1，－3)D．(0，－6)

7．若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为__________．

8．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________．

9．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标．

答案：

1．A

2．B 解析：利用反推法解答，函数y＝(x－1)2－4的顶点坐标为(1，－4)，其向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数y＝x2＋bx＋c，又∵1－2＝－1，－4＋3＝－1，∴平移前的函数顶点坐标为(－1，－1)，函数解析式为y＝(x＋1)2－1，即y＝x2＋2x，∴b＝2，c＝0.

3．D 4.C 5.C 6.B

7．k＝0或k＝－1 8.y＝x2＋1(答案不唯一)

9．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)，

∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，

即y＝－x2＋2x＋3.

(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．

12.（2014o安徽省,第9题4分）矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）

考点：动点问题的函数图象．

分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．

解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；

②点P在BC上时，3＜x≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠APB=∠PAD，

又∵∠B=∠DEA=90°，

∴△ABP∽△DEA，

点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．

确定函数定义域的方法

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

31.如何知道“功能”？

在小学数学教科书中，函数的概念并没有被提及，只是通过一些例题和计算问题，让学生初步体会到量与量之间的依赖和变化规律，并把“函数”的思想渗透到学生身上。例如:

在左集合中的数字加上9之后，在右集合中得到相应的结果。在这组加法问题中，一个加法数“9”是常数，而另一个加法数变化，所以它们的和也变化。这意味着“和”将随着“加数”的变化而变化。

在从左边集合中的数字减去8之后，得到右边集合中的相应结果。在这组减法问题中，减数“8”是常数，而被减数是变化的，所以它们的差也是变化的，也就是说，“差”随着被减数的变化而变化。有时，“差异”也随着“减数分裂”而改变。

另一个有趣的教具是功能装置(如图所示)。

首先，确定一个乘数“5”，并将其固定在功能单元上。在左边，一个学生将不同的数字卡放入功能单元。在右边，一个学生在口头计算后拿出相应的产品数字卡。做这种计算游戏，让学生认识到计算的结果随着已知数的变化而变化，并有一定的规律。

通过像上面提到的那样分组计算一些数学问题，学生可以进一步认识到事物是不断变化的，同时，事物是相互联系的，变化是有规律的。它也激励学生不要认为事情是孤立的和不可改变的。

中等题

10．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()

A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3

11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3-4-13，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－ba；④3|a|＋|c|＜2|b|.其中正确的结论是____________(写出你认为正确的所有结论序号)．

12．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.

(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；

(2)当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

答案：

10．B 11.①③④

12．解：(1)将点O(0,0)代入，解得m＝±1，

二次函数关系式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x.

(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴D(2，－1)．当x＝0时，y＝3，∴C(0,3)．

(3)存在．接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求．

由C(0,3)，D(2，－1)求得直线CD为y＝－2x＋3.

当y＝0时，x＝32，∴P32，0.

一次函数

正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：

正比例函数一般形式y=kx(k不为零)

①k不为零②x指数为1③b取零

当k>0时，直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；

当k

(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k

二、四象限

(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k

(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

函数的概念

1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．

2．函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x做自变量，y是因变量．

(1)自变量取值范围的确定

①整式函数自变量的取值范围是全体实数．

②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．

③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．

(2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．

3．函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法．由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线．

二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点

如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

今天带来的是高中数学函数值域的解法，接下来小编为大家介绍主要技巧，一起来看看吧!

1。反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为：x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y1｝)

2。配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。(答案：值域为{y∣y≤3})

3。图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为 -2x+1(x≤1)

y= 3 (-1

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

4。观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3.

∴函数的知域为。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

5。判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

当y≠2时，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

当y=2时，方程(*)无解。∴函数的值域为2

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

6。值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4.

∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ()

A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

(答案：D)。

注意事项总结：

3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握"顶点式"y=a(x-h)2+ k及"两根式"y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设"一般式"求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设"顶点式"求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设"两根式"求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h0向上移动|k|个单位；k

一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

二、填空题

1（2014年山东泰安第17题）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）

【分析】：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．

【解答】：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，

所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），

反比例函数y=的图象位于第二四象限，

【点评】：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．

2（2014.福州第10题）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是【】

【考点】：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.

二、填空题

6（2014o江西抚州，第8题，3分）一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示.小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是

解析：∵桶口的半径是杯口半径的2倍，∴水注满杯口周围所用时间是注满杯子所用时间的3倍，

7．（2014山东济南，第12题，3分），直线与轴，轴分别交于两点，把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是

【解析】连接，由直线可知,故,点为点O关于直线的对称点,故，是等边三角形，点的横坐标是长度的一半，纵坐标则是的高3，故选A．

8．（2014o四川内江，第12题，3分），已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（）

考点：一次函数图象上点的坐标特征．

专题：规律型．

分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．

解答：解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1

作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，

∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，

则B1（1，2），

同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，

则B2（2，4），

B3（2，6）…

∵A1B1∥A2B2，

∴△A1B1P1∽△A2B2P1，

∴=，

∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，

∴A1B1边上的高为：，

∴=××2==，

同理可得出：=，=，

∴Sn=．

点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．

二、填空题

4（2014o山东潍坊，第8题3分）已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）

考点：动点问题的函数图象．

分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.

解答：因为△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=5：（4－x）y，

整理，得y=－（x－2）2+，

很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，）的抛物线

点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．

5（2014o山东烟台，第12题3分）点P是?ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点（）经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是

考点：平行四边形的性质，函数图象．

分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．

解答：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；

点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．