数学因式分解法题目【推荐20篇】

1.锐角三角形的垂心在三角形内；

直角三角形的垂心在直角顶点上；

钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF

5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上

13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。

14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

数学童话——孙悟空与牛

你看过《西游记》吗？有一个孙悟空和牛的故事。

唐僧、悟空等弟子到西天取经。他们彻夜未眠，去了火山。山口闷热难当，无法通过。悟空从土地神那里得知，只有铁扇公主的芭蕉扇才能灭火。悟空煞费苦心借芭蕉扇，却被铁扇公主的丈夫牛王默骗了。于是悟空和牛展开了一场大战。

牛王默不是孙悟空的对手。他筋疲力尽，失败而逃。但是，牛并不简单。他会改变的。当他看到悟空追着他时，他变成了一只白鹤，飞走了。悟空看见了，立刻变成了一只凤凰，追了上去。牛王默认为:凤凰是鸟中之王。我，白鹤，能在哪里和这只凤凰竞争？！他别无选择，只能飞下悬崖，变成一只甜美的狍子，假装无忧无虑，在悬崖前吃草。悟空心想:好牛精，你过不了我的金眼睛！他立刻变成了一只饥饿的老虎，扑了过去。牛王默慌了，赶紧换上狮子去抓饿虎。悟空看得很清楚，就地打滚，变成一只巨象，张开长鼻子，把狮子打滚。牛王默施展了他的魔术，展示了他的真面目。原来是一只白色的大奶牛。这头白牛的两只角像钢塔一样强壮，有8000多英尺高。它非常强大。他对悟空说:

“你还能对我做什么？”

我看见悟空弯下腰大喊“长”！他立刻变得非常高，用一根大铁棒打了牛王默。牛王默见了见势不妙，只好恢复原来的形象，匆匆离去。

孙悟空和妞妞王默杀了惊天动地，惊动了天上的神，帮助包围妞妞王默。牛王默被困的野兽继续战斗，变成了一只白色的大奶牛。它用它的铁角推着托塔天王。它被一艘灭火轮烧毁，并大声咆哮。最后，天王被固定在一面看起来像魔鬼的镜子上。他动弹不得。他不得不再三乞求宽恕，用一把香蕉扇来煽熄火焰山的火焰。唐僧和他的四个人翻过山，继续向西天学习。

这个故事很吸引人，它与初中代数中学习的函数概念有关。

首先，让我们从“改变”这个词开始。孙悟空和牛都是奇迹，可以改变。它们可以变成鸟和动物。随着一声大喝，一个人的身体会变得“不屈不挠”或者变成一条虫子。当然，这些都是神话，不是真实的事实。然而，世界上的一切都在改变。由于物质在变化，表示其数量大小的数字自然也会随之变化。这告诉我们要从变化的角度来研究数字和数量及其关系。

其次，让我们再看看。所有的量在任何情况下都是变化的吗？不。在研究一个问题的特定过程中，在一定范围内，一些量保持不变。或者，虽然它也在变化，但变化很小，我们认为它是不变的。或者以唐僧师徒为例。孙悟空的技能最强，能变72次。唐僧是最没用的，根本不会变，所以魔鬼一眼就能认出他来。每个人都想吃他的肉。在代数中，在研究问题的过程中不断变化的变量叫做变量。孙悟空就像一个“变量”。在一定范围内保持不变的量称为常数，唐僧似乎是一个“常数”

此外，让我们再看看变量和变量之间是否有任何联系。变量不会孤立地改变。在变化的过程中，变量是紧密联系和制约的。还是在上面的故事中，孙悟空和牛展示了他们的神奇力量，两人都在改变。牛王默变成了白鹤，孙悟空变成了巨象。牛王默变成了一只8000多丈高的大白牛，孙悟空变得非常高。……在这里，牛总是先变，他变的目的总是想尽一切办法逃避。孙悟空随着牛王默的变化而变化。此外，这种变化有一定的原则。随着妞妞王默的变化，孙悟空变成了可以制服妞妞王默的东西。在代数中，我们称第一个变量为自变量，随自变量变化的变量为函数。函数随自变量的变化而变化所遵循的一个特定原则称为函数对应。如上所述，孙悟空就像牛王默的“功能”。他随着牛王默的变化而变化。

这样，《西游记》和我们的数学有很大关系。事实上，只要我们注意它，到处都充满了数学原理。

数学在高考中的位置、分值极为重要，数学能够学好，对升入理想大学会起到很大的作用。高三文科班的同学如何才能学好数学?下面小编就和大家分享文科数学学习方法，希望对大家有帮助!

文科数学学习方法1

预习基础 辨清概念 仔细审题 认真答题 及时小结 寻找错因

文科数学与理科数学不同之处在于，文科数学只需把基础要领掌握，会用它来解题即可。 对于高三文科数学的学习，我认为应该将课本上的例题抓住，课本上的练习题一定要做完(不能漏掉一个)，这是把文科数学学好的基本。 很多人说，数学要多练，这是没错的。但我觉得，练，也要有方法，不能毫无方向，到处抓题来做，这很耗时间。 最好的办法就是：整理错题录。虽然说起来简单，但真正做起来也很困难。但这确实是达到目的的最佳路径。如函数、曲线等题目众多，没有错题录是很难将你的弱点暴露出来的。 在空余时间，需练题。怎么寻找所需的有用题目，并达到最佳效果，这是很有讲究的。前三年的各省真题不能放过。至少得选够15套左右。并且应腾出2小时来完成试题，不能做一点又放了。 至于考多少分，那要看你的能力了，如果你认真按照这些来做的话，要求至少应达到125左右才算真正发挥实力了。若你以前的基本功较扎实，135左右;若你的基本功较薄弱，应保证115左右。 最后祝你考出令自己满意的成绩!

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文科数学学习方法2

学习数学应该要在宏观上对其有一个整体的把握，总的来说，数学可以尖子生分为8大部分：函数、数列、立体几何、解析几何、排列组合、不等式、平面向量、二项式定理以及统计。其中，尤其以函数和几何较为难学，同时也是重点知识内容，要弄清楚它们各自的特点以及相互之间的联系，这些都是最基本的内容。而要做到这一点，首先就要对课本上的一些基本的概念、定理、公式了如指掌，用的时候才能从容不迫，信手拈来。但是，这些知识往往也是最容易被忽视的——大家都忙着做一道又一道的习题，买一本又一本厚厚的习题书，哪有时间去看课本?

有些同学可能会想，数学又不是政治、历史，书上的习题又大都极简单，何必看课本呢?殊不知，课本对于数学来说，也是很重要的。高考数学有20%的基础题目，只要花上一点点时间把课本好好看看，要拿下这些题易如反掌;反之，要是对一些基本的概念、定理都含混不清，不但基础题会失分，难题也不可能做得很好，毕竟这些都是基础啊。数学的逻辑性、分析性极强，可以说是一种纯理性的科学，要求思维一定要清晰明了，是不太可能出现做出题目却不知是如何做对的情况的，因而基础知识十分重要。

其次，相当多的习题自然是必不可少的。在理解了基本的概念以后，必须要做大量的练习，这样才能巩固所学到的知识，加深对概念的了解。所谓熟能生巧，数学最能体现这句话的哲理性。数学的思维、解题的技巧，只有在做题中摸索，印象才会深刻，运用起来才会得心应手。当然，这并不是提倡题海战术，适量就可，习题做得太多，很容易产生厌烦情绪。最重要的还是选题，一定要选好题、精题。在这一方面，老师的建议是很值得考虑的，最好买老师推荐的参考资料。同时做题还要根据自己的实际情况。一般而言，要先做基础题，把基础打牢固，然后再逐步加深难度，做一些提高性的题目。每一个知识点都要做一定量的上难度的题来巩固，这样才能将其牢牢掌握做完每个题之后，要回头看一遍(尤其是难题)，想想做这一题有什么收获，这样，就不会做了很多题却没有什么效果。

运算也是很重要的一个环节，与方法的重要性不相上下。培养一种发散性思维，寻求解题的多种方法，当然非常重要。但是，有一些同学，他们具有很强的思维能力，能够从多种角度思考问题，可是计算能力却不强，平时也不训练，考试时往往是找对了方法却算错了答案，非常可惜。的确，繁琐的运算是令人望而生畏的，但是，在运算过程中你将发现许多新的问题，而运算能力也就在训练中渐渐提高了。因而，学习数学方法要与计算并重。一方面，要重视做题方法的训练，从多角度、多方面去思考问题;同时，也要注意锻炼计算能力，注重计算的精确性，而不能偏向一方。

文科数学学习方法3

是参加补习班

这是对学校教学的有益补充，可以是一对一的家教，也可以是4-8人的小班化的补差补缺。如果人数过多，效果就会大打折扣。

同学间的相互学习

包括日常学习中所学知识的及时探讨、交流，比如学到投影画图这一新知识的时候，针对没有学会或是一知半解的内容，就可以利用课间或是其他时间即时问同学，这样可以随时随地地排疑解难，以便当天问题当天解决。

求助科任教师

在每节课的学习与做作业的时候，一旦有不懂的地方，就通过当面求助与电话、短信、邮件、qq等不同方式，将学习困难与问题加以及时化解，做到不耻下问，这也是文科学生学好数学的宝贵经验。

[学习指南]

定位要合理，注重基础知识

通过近几年来的对高考试题的研究分析发现，文科数学考查的多是中等题型，占据总分的百分之八十之多，对于大多数的文科生来说，作好这部分题是至关重要的。学生要加大独立解题和考场心理的模拟训练，这是可以进一步改善的地方，可大大提高整体的数学成绩。学生要正确估计自己的数学水平和数学学习能力，确立自己切实可行的数学复习起点和数学成绩的学习目标，对高三文科中加试艺术的绝大部分同学而言，数学基础相对较差，因此，数学复习必须要狠抓基础复习。通过复习，能运用所掌握的知识去分析问题，解决最基本的填空题和中档题，对于难题，要学会主动放弃，没有必要去浪费时间。如果真正把基本的东西弄懂了，确保填空题(前10道)、选择题(前3题)不失分或少失分，牢牢抓住40%(试卷结构易、中、难比例为4:4:2)不放松，再根据可能，完成中档题中的容易部分，高考完全可以超过100分。

要对教材合理利用

高考考查点“万变不离教材”，许多的试题就来源于教材的例题和习题，学生们要提高对教材的重视，课本中的例题、习题是高三文科生复习的一份宝贵资源。重做课本中的典型习题，学生可以站在全局的角度上，重新审视和总结其中所蕴含的疑难点以及解题方法和数学思想，这样可以对数学的学习有一种全新的感悟。学生在高一高二的数学学习过程，总是存在着很多未被消化的疑难问题，这些内容一直困挠着他们的数学思维能力的发展，也影响着对数学的学习信心。先整体把握全教材的章节，再细化具体的内容，用联想的方式，使在自己的头脑中构建知识体系，理解解题思想和知识方法的本质联系，提高实际运用能力非常重要。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，这样复习才有实效。

（一）统计

统计课程有以下几个关键词。第一，从数据中提取信息，是统计的第一要务。我们围绕着要得到的信息去收集数据，设计整理描述数据的方法，比如说选择不同的图式，无论是直方图、扇形图、折线图，还是其他的图式，都是希望通过它们将信息清晰、准确、直观地反映出来。第二，统计解决问题是靠一个过程来解决的，这个过程包括数据的收集、描述、整理，以及从数据中提取信息，并且用这些信息来说明问题的过程。第三，统计处理问题是一个归纳的过程，特别是在初中阶段，我们不仅要会搜集所有的数据，整个收集过程都是去体现一个归纳的思维，用部分去说明整体，这样才能解决问题。这是解决问题的一种重要的方法，也是一种重要的思维，更是一种重要的推理。

“你什么意思？”小牛非常困惑。他又仔细地找了一遍，发现底部刻着两行小字:

从顶部正中间的小点开始，按照箭头指示的方向，画出四条相连的直线，这样这些线段就穿过了9个小点，那么线段穿过的最后一点就是打开希望之门的钥匙。

“这里有钥匙吗？”好奇心驱使小牛去寻找希望之门的钥匙。他从上面的中间点开始，一遍又一遍地画，最终使他的画获得了成功。

“哈，是左下角的那个圆结。”小牛做了很大的努力，没有把结拉出来。然而，人们发现它可以旋转。

小牛仔细看了看手电筒，在丘疹的右侧发现了几行小字。

首先逆时针转动，然后顺时针转动，这样交替转动。总共28888次逆时针转动和28880次顺时针转动将打开希望之门。

“好吧，让我打开希望之门。”小牛开始转身，转了几圈后停了下来。他对自己说，“逆时针方向要转20，000多圈，顺时针方向要转20，000多圈。需要多长时间？”

小牛拍拍自己的头:“伟大的数学家巴别不会让后代做这种蠢事！一定有什么巧妙的方法。我要做一个逆时针旋转和顺时针旋转的数学，是的。这是个好主意！”

结果，小牛只转了几圈就听到了“吱”的声音。墓碑向前移动了半米，露出了地上的一个黑洞洞。一只野狗从坟墓后面跳进了灌木丛。

“既然希望之门已经打开，我为什么不进去？”小牛用手电筒照进了洞里。

小牛是怎么做数学的？

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线

垂直于过切点的半径;经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的性质：(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于AB两点，则有pC^2=pA·pB

割线定理与切割线定理相似两条割线交于p点，割线m交圆于A1B1两点，割线n交圆于A2B2两点

则pA1·pB1=pA2·pB2

圆是轴对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

整式的运算法则

整式的加减法：(1)去括号;(2)合并同类项。注意：(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

(3)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

(4)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

(5)公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

(6)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

有趣的数字

宋代大诗人苏东坡年轻时和几个同学考上了北京。当他们到达考场时，已经太晚了。考官说:“如果你是对的，我会让你进入考场。”主考人的第一副对联是:一艘单叶船，两三个学生，四只桨和五张帆，六个海滩和七个海湾。经历了各种起起落落后，已经很晚了。

苏东坡的第二幅对联是:十年寒气之后，入了98所书院，弃世俗之欲，苦读五经四书，考了三两次，今天一定要成功。

主考官和苏东坡在对联中嵌入了10个1到10的数字，最大限度地描述了读者的艰辛和勤奋。

错误的小数点

学习数学不仅需要在解决问题时有正确的思维，而且在解决问题的具体过程中不能有错误。差别通常只有一英里那么小。

美国芝加哥一位靠养老金生活的老太太在医院做了一次小手术后回到了家。两周后，她收到医院的账单，金额为63，440美元。看到这个巨大的数字，她震惊了。她心脏病发作，摔死了。后来，有人去医院检查了一下。原来，计算机放错了小数点，实际上只需支付63.44美元。

一个错误的小数点夺去了一个人的生命。正如牛顿所说:“在数学中，最小的误差是不可忽视的。

21世纪从哪一年开始？

世纪是计算年龄的单位，100年是一个世纪。

第一世纪的开始年份和结束年份分别是公元1世纪和公元100年。常见的错误是，有些人把年初视为公元0年，这显然不符合逻辑和我们的习惯，因为一般来说，序数计算从“1”开始，而不是“0”。正是这种误解导致人们错误地认识到本世纪末是公元99年。这也是为什么人们错误地认为1999年是二十世纪的末，2000年是二十一世纪的初。由于公元计数是有序的，它应该从“1”开始，二十一世纪的第一年是2001年。

布冯试验

一天，法国数学家蒲风邀请许多朋友到他家做实验。布冯在桌子上摊开了一大张白纸。白皮书覆盖着等距的平行线。他取出许多等长的小针。小针的长度是平行线的一半。布冯说:“请随意把这些小针留在这张白纸上！”客人们照他说的做了。

布冯的统计结果是:每个人投了2212次，其中小针与纸上的平行线相交704次，2210÷704≈3.142。布冯说:“这个数字是π的近似值。每次我们得到圆周率的近似值，我们抛出它的次数越多，近似值就越精确。”这就是著名的“布冯测试”。

数学魔术师

1981年的一个夏天，印度举行了一场心算比赛。表演者是一位来自印度的37岁妇女，她的名字叫沙昆塔纳。那一天，她将与一台拥有惊人心算的先进电子计算机竞争。

工作人员写了一个201位的大数，并要求他们23次找到该数的根。作为计算的结果，萨金塔纳在50秒内给了观众正确的答案。为了得到相同的答案，计算机必须输入20，000条指令，然后进行计算，这比萨金塔纳要花更多的时间。

这个奇怪的消息在世界上引起了轰动，沙科塔娜被称为“数学魔术师”

华，工作到最后一天

华出生于江苏省。他喜欢数学，并且非常聪明。1930年，19岁的华去清华大学学习。华在清华的四年里，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习。他连续发表了十多篇论文，后来被派往英国留学并获得博士学位。他深入研究数论，获得了著名的华氏定理。他特别注重理论联系实际，走访了20多个省、市、自治区，动员群众将优化方法应用于农业生产。

记者在采访中问他:“你最大的愿望是什么？”

他不假思索地回答:“工作到最后一天。”在为科学努力工作的最后一天，他实现了自己的诺言。

做题时有时需要画图，一道难题，有时候图画出来了，思路也就来了。考生应合理应用手中的工具画图，铅笔、碳素笔、格尺、三角板搭配使用。画图要有顺序性，因此，要正确理解条件。图形的摆放要合理，要画出最适合自己思考角度的图形。图形中线段、角度大小、位置要恰当，只有这样才能给猜测结论提供一定的思考方向。考生应注意积累特殊图形和一般图形的关系，有时可以从特殊图形入手分析，然后把方法迁移到一般图形中应用。考生应该做到图在心中，让图随时运动起来，放在任何题中都能识别出来。

目前，考生要进行规范答题训练，用答题卡时，要看清题号，书写整洁，字迹清晰，写字的大小要适中。训练时解题的书写过程可以参考近三年中考试题的评分标准。另外，考生进行答题训练时应根据自己不同的分数目标合理地分配考试时间，答题速度通常为：填空、选择题控制在18分钟左右，13题至21题半个小时左右完成等。如果答某一题型超时，要考虑换题。

答题时要重视容易题和中等题，这部分题的比例约占80%左右，做这类题时一定要认真，力争不丢分。对于难题，尽量得分即可。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

数学童话——古城堡的探索

胖子和瘦子被假狮子咬了。老人跑过去看着他们，拍着他的大腿说:“这是胡说八道！我们怎么能把1看作质数呢？它既不是质数也不是复合数，看我怎么改！”老人把最后一行改成:20=2+2+2+3+11。老人一改，狮子就张开了大嘴。

那个胖子利用了狮子的开口，抢先了一步。他在里面喊道:“头儿，这里很黑。你什么也看不见。哎哟，还有台阶要走！”

胖子数了数，走下台阶:“1，2，哎哟！我摔死了！头儿，这里的步骤不一样。”

老人在外面喊道，“胖子，你找这些高低台阶的规则是什么？”

“我会再试一次。”胖子又走了下来，“1，2，3，哎哟！又摔倒了！1，2，3，4，5，哎哟！我摔死了！这是什么鬼路？”

当听到胖子边走边摔跤的声音时，赵民和王军差点笑了。赵敏说:“我们找到这个台阶高度的规则是什么？”

王军说:“胖人走路的台阶是2低1高，3低1高，5低1高，8低1高。”

“嗯，我看到了。每个后续低阶的级数等于前两个相邻低阶级数之和。我会写下较低的步骤的数量。”赵敏写道:2，3，5，8，13，21？？

王军说:“我们将按照这条规则走下台阶，以确保我们不会摔倒！”他们俩手拉着手，嘴里数着。他们按照上面的规则走下台阶，然后顺利地下到底层。

"啊，三个恶棍在哪里？"赵敏警惕地环顾四周。

突然，透过一丝亮光，他们听到了“唧唧，唧唧”的声音，非常可怕。王军浑身发抖，说:“这听起来像鬼！”

赵敏笑着说，“你从哪儿弄来的鬼？不要吓自己。”他转过身，看见一个活生生的“怪物”在跳来跳去。

“啊！”赵敏也吃了一惊，但他很快又平静下来。因为他相信世界上没有鬼！

赵敏大声问，“你是谁？”

“怪物”回答道:“我是这座城堡的主人，古里塔国王。”

赵敏歪着头说:“你是古里塔国王吗？好吧，我来测试你。”

数学故事——小熊选择演员

电影导演长颈鹿叔叔和副导演小熊选择了会爬树、会走钢丝、会骑马和骑自行车的猴子作为电影《猴子世界》的演员。

"据了解，郭华山有40只猴子."长颈鹿叔叔对小熊说:“去郭华丛林仔细调查，看看有多少人会爬树，有多少人会走钢丝，有多少人会骑马，还有多少人会骑自行车。”

小熊点头。

“严肃点，小心点！”长颈鹿叔叔再三催促。“我明白了！”小熊答应了，但他心里暗暗笑了，“这只是一件小事，还在唠叨。”

小熊跑了三步两步，直奔郭华山。

当趾高气扬的猴子听到小熊说他们想选择电影演员时，他们争先恐后地一个接一个地表演他们的技能。他们都无能为力。小熊看完表演后注册了一次。调查是严肃的！

小熊回来向长颈鹿叔叔报告:

有20个人会爬树。

有15个人能走钢丝。

有五个人会骑马。

有10个自行车手

“主任叔叔，有一点必须纠正:你说郭华山有40只猴子，但经过我的调查，应该有50只。”小熊严肃地说。

“出问题了！”长颈鹿叔叔摇摇头。“我曾经查过森林王国的户口簿。郭华山只有40只猴子。怎么会有10个以上呢？”

小熊不相信:“叔叔，20加15，5加10等于50。还是错了吗？”

长颈鹿叔叔突然大笑起来。“但你忘了一件事:在计算总数时，你不能简单地把它加起来。”

“不能简单地补充吗？！”小熊呆住了，伸出手去抓他的头皮。

长颈鹿叔叔解释道:“例如，有一只猴子，它有很强的力量和综合技能。他可以爬树、走钢丝、骑马和骑自行车。当你根据这四个项目注册时，你要分别考虑他，所以他在这四个项目中占了一个位置。因此，最终的总数肯定会是三个以上。猴子毕竟是40岁，但你加了10岁。

“哦，我明白了，长颈鹿叔叔！”

“这很好理解！”长颈鹿叔叔笑着问:“你现在打算做什么？”

小熊说:“现在我知道至少有10只猴子有两种或更多种能力。我会再去一趟郭华丛林，挑选一个多才多艺的演员！”

“是的，这次我和你一起去！”长颈鹿叔叔拍拍小熊的肩膀。

时光之鹰来到西西里的古城西拉，背上背着铁蛋。罗马士兵正在进攻古城西拉。成排的战舰布满了船帆。突然，许多大石头飞出了城市，击沉了几艘战舰。然而，越来越多的罗马战舰继续逼近城墙，挡住落下的巨石。

突然，铁蛋眼前一亮，我看见一长串女人站在墙上，每个人手里都拿着一面古代的镜子，把阳光反射到战舰的船帆上。不久，帆着火了，古罗马战舰撤退了。

是的。敌舰逃走了！西拉古城的居民欢呼雀跃。他们喊道:“阿基米德真伟大。石头砸了，火也烧了。敌人必须迅速逃跑！

铁蛋兴奋地说:“阿基米德不仅是一位伟大的数学家，也是一位伟大的发明家。他用杠杆原理把一块大石头扔出了城，还用镜子反射阳光，烧掉了敌人的船帆。光是他就值成千上万的军队和马匹。多么伟大的事情啊！

时间之鹰缓缓降落在一个房间前，说道:“铁蛋，你进去吧！阿基米德在里面。"

铁蛋推门进去了。他看见一个老人在沙盘前说话和画画。阿基米德很高兴看到铁蛋进来。他向他招招手，说:“来吧，小朋友，我发现了一个重要的几何定理。”

阿基米德指着沙滩上画的一幅画说:“这是一个里面有球的圆柱体。我发现这个球的体积正好是圆柱体体积的三分之二。球的表面积正好是圆柱体表面积的三分之二。多巧啊。这个铁蛋摸起来很新鲜。阿基米德拿出一套模型，那是一个圆柱形的桶和一个圆形的球。他对铁蛋说:“我来测试你。我用沙子填满了半个球，然后把它倒进圆柱形的桶里。我填了几次，这表明球的体积是圆柱体积的三分之二？

"嗯……"铁蛋想了一会儿说，"整个球的体积占圆柱体的2/3，一半球占1/3！"顺便说一下，如果时间满了，它会解释这个问题。"

“小心。阿基米德用沙子填满半个球，然后把它倒进一个圆柱形的桶里，精确地填满三次。

是的。蒂丹非常开心。蒂丹正要把信给他。突然，门被踢开了。一名手持匕首的古罗马士兵怒气冲冲地走进来，踩在沙盘上。

阿基米德愤怒地喊道:“混球！你踩了我沙盘上的人。"

古罗马士兵非常愤怒。一把剑刺入阿基米德的左胸。数学家倒下了，沙盘被鲜血染红了。

铁蛋落在阿基米德身上，痛哭流涕。然后他被埋在一棵树下。墓碑前立了一块墓碑。你想在墓碑上写什么或画什么？

数学系列故事的第三次数学危机

一天，萨维尔村的理发师张贴了一个标语:“村里所有不理发的人都是我剪的，我只剪他们的头发。”所以有人问他，“谁给你理发？”理发师突然哑口无言。

因为，如果他剪头发，那么他属于那种自己剪头发的人。然而，牌子上写着他不为这样的人理发，所以他不能自己理发。如果另一个人剪了他的头发，他就是那个不剪自己头发的人，而且牌子上清楚地写着他会剪所有不剪自己头发的人，所以他应该剪自己的头发。因此，无论哪种演绎，理发师说的总是矛盾的。

这是一个著名的悖论，叫做“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出的，他在故事中表达了一个著名的关于集合论的悖论。

1874年，德国数学家康托创立了集合论，它很快渗透到大多数分支并成为它们的基础。到19世纪末，几乎所有的数学都以集合论为基础。这时，集合论中相继出现了一些矛盾的结果，尤其是反映在罗素1902年的《理发师的故事》中的悖论，它极其简单、清晰、通俗。结果，数学的基础被被动地动摇了。这就是所谓的第三次“数学危机”。

此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量的研究工作，产生了大量的新成果，同时也带来了数学概念的革命。

中考数学辅导：三倍角公式推导

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

数学故事-土耳其商人和帽子

有一个土耳其商人想找一个助手。两个人来报名，商人想测试他们谁更聪明。他带着这两个人进了一所既没有镜子也没有窗户的房子，房子里有灯光。然后商人打开一个盒子说:“里面有五顶帽子，两顶红色的和三顶黑色的。现在我要关灯了。我们三个会碰一个，然后把它戴在头上。然后我会盖上盒子，打开灯。之后，你会尽快告诉我们你戴的是什么颜色的帽子。”他说完话后，就按照吩咐做了。当灯亮的时候，两个人都看见那个商人戴着一顶红色的帽子。过了一会儿，其中一个说，“我戴着一顶黑色的帽子！”这个人猜对了。想想看，他怎么猜对了？

思考:我们应该首先排除不可能，然后一步一步地排除不可避免的事情。

解答:正确的猜测是总共有两顶红帽子。这个商人头上已经戴了一顶红帽子。如果我戴了一顶红帽子，对方可以立即断定他戴了一顶黑帽子。

我们不能马上判断。显然，对方和我戴着同样的黑帽子。因为他领先一步，所以他猜对了。

(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，(简叙为两角对应相等两三角形相似).

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似.)

直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等.

(2)相似三角形的对应边成比例.

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(4)相似三角形的周长比等于相似比.

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

小学数学故事:古代数学记录

当某个位数为零时，最早的方法是不计算筹码就把它留空。例如，86021，就像这样:

后来，圆圈(O)被用来表示:

现在我们可以有把握地说，这种数字符号早就被中国人发明和使用了。这枚金牌属于我。

这种位计数加上十进制数称为十进制位计数。

说到十进制，每个人都还记得之前提到的五进制和二十进制。

五位数系统是指每五位数一个，最初被广泛使用。直到现在，一些南美部落仍然用手计数——“1，2，3，4，手，手和1”，等等。

玛雅人把二进制作为他们的计数原则。这可能是因为玛雅鞋发明得太晚了。然而，格陵兰人也有这个系统的痕迹:他们用“一个人”代表20岁，“两个人”代表40岁。

事实上，每几次“少数”进入一英里，除了一个，任何自然数都可以使用。这取决于当时的情况和实际需要。这个话题很长。

古代中国有许多野生动物，黄河里的水族，尤其是奇怪的动物，无处不在。其中一种是一种形似河马的动物，身上有黑白相间的图案，经常随着波浪起伏。

一个聪明的人，傅·，在一个阳光明媚的日子来到河边观看。看到马身上斑驳的图案和清晰的黑色，他突然觉得心里有什么东西。自从我成为部落首领后，我经常担心许多关于内部事务和外交事务的事情，而且我记不起和计算过它们。绑一根绳子来记录事件是不够的。他模仿野兽身上的黑白长短条纹，创造了两种长短条纹，两种长短条纹相匹配，形成八种不同的符号来代表某些事物，称为“八卦”。

后来，这种动物从黄河消失了(恐怕没有野生动物保护区)。后世认为，除非是龙马，否则马不会在河里出生。除非马背上有一些图案，否则它不会有图案。这就是所谓的“河流地图”的由来。如果继续下去，洛水将会有另一只乌龟，带着“洛书”，叫做“河成图，洛书成书，圣人成书”。也就是说，圣人伏羲根据《河图洛书》画了八卦图，这是《易经》的来源。

《周易》的研究现在是一个热门话题，很多人都很感兴趣，也很忙。不过，我们现在只谈“八卦”的构成。

古代圣人相信世界上所有的事物最终都是由阴阳两种基本元素组成的。他画了两条占卜线，一条是阳，一条是阴，另一条是阳，另一条是阴。

阳爻和阴爻一次排列成两个，形成四个图像:

一次拿三个，有八种不同的安排，叫做八卦:

八卦代表八种不同的基本自然物体:干是天，坤是地。荀为风，震为雷；山脊是水，分隔是火。艮为山，反为泽。

四对物质彼此相对，即所谓的天地、风与雷、水与火、山与水，所指的符号完全相反。

内角和公式证明

内角和

在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。

证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》

如何证明三角形的内角和等于180°

方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°。

方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°。

数学故事——奇怪的狗叫

杜雷是A市著名的企业家，他的产业覆盖了整个A市。他独自住在市郊的一栋豪华别墅里，只养了一只北京狗陪伴他。他非常喜欢这只北京狗，所以他邀请了一个仆人来照顾这只狗的日常生活。

四月的一个晚上，小偷潜入他的卧室，偷走了关于公司发展的重要文件。当杜雷发现后，他勃然大怒，立即问保安。

一名保安对杜雷说:“那天晚上我们呆在这里，没有发现任何异常。只听到北京狗叫，我们以为它饿了，所以我们不理它。对不起，这是我们的疏忽。”

杜雷听了，立即叫保安人员逮捕了那个照看北京狗的仆人，并在他的房间里找到了文件。

保安真的很佩服杜雷这么快就知道谁是小偷。

杜雷凭什么线索发现小偷是仆人？

中考数学知识点：梯形、三角形的性质

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为()

A.1.5B.3C.3.5D.4.5

考点：等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线.

分析：根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案.

解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，

∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.

∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.

∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC=6=3，

故选：B.

点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质.