数学的概率如何算（精选20篇）

三、统计概率教学中的困惑

2．天气预报经常说，降水概率是80%，学生的理解有很大的偏差

在杭州问一个老太太，说下雨概率是80%怎么理解，她说80%地区下雨，实际上你要理解什么，我们谈到概率，就是说在相同条件下，也就是说明天如果预报降雨的概率是80%，一定是我观测的气象条件，在我历史上的资料里头，有跟明天近似，几乎相等的情况下，那在历史中记录了，凡是这样天气里头，大概有80%都是下雨了，有20%没下雨，因此我就说，又出现这样情况了，那么根据历史的资料，那么我应该是80%，也就是说一定是在相应条件下，做重复实验的这些频率稳定性来看的，所以一定不是去抠这样一些东西。

关于概率的几个基本特征，对这几个基本特征的认识，就足以使我们能够很好地区分什么是随机现象，什么不是随机现象，并且如何用随机现象来帮助我们解决一些问题，就够了，那么对于我们的学生和老师来说，没有必要他们必须建立起一个完整地确切的一个定义，专门研究数学的人，或者专门研究概率的人，他们会以某种公平的形势，给出一个自圆其说的定义，有了这三个特征，我们就可以去解释这些现象。在概率里面呢，一定是重视，而不是在所谓严格性去抠，就是说这个必然事件，什么不可能事件，是不是随机事件呢，都是随机性特定的，我觉得像这些东西，其实很清楚，我们把它规定进来了，我们在算时间概率，它也算是其中的一员对不对，就是像这样的一些东西的话，都没有必要在这使劲去抠它。

解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。

一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法。

例如：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的情况下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率等，则游戏公平，否则不公平。

1

事件的可能性：

必然事件：能确定一定会发生；

不可能事件：肯定一定不会发生；

不确定事件：无法肯定他会不会发生。

1

【注意】必然事件和不可能事件都是确定的。一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

2

概率：

①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。

②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；

不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；

如果A为不确定事件，记作P（A）=P。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

〖考题训练〗

8．小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序.他们约定用"剪子、包袱、锤子"的方式确定.问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____________.

9．在"深圳读书月"活动中，小华在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成"上、中、下"顺序的概率是多少？

10．四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.

（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；

（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？

可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件;有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件;必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

概率：①人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么0〈P(A)〈1。

对于概率类问题特别要注意以下几点

01注意概率、机会、频率的共同点和不同点。

02注意题目中隐含求概率的问题。

03画树状图及其它方法求概率。

04摸球模型题注意放回和不放回。

05注意在求概率的问题中寻找替代物，常见的替代物有：球，扑克牌，骰子等。

统计与概率会在中考中以客观题的形式进行考查，选择题、填空题较多，同时考查多个考点的综合性题目一般以解答题的形式进行考查。

解决统计与概率问题常用的数学思想是方程思想和分类讨论思想;常用的数学方法有分类讨论法，整体代入法等。

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频率与概率：

(1)频率=频数/总数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

(2)概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P(A)≤1;

P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0;

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值;

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

一、知识归纳与例题讲解：

1、总体，个体，样本和样本容量。注意"考查对象"是所要研究的数据。

例1：为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）

（A）7000名学生是总体（B）每个学生是个体

（C）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是500

例2：某市今年有9068名初中毕业生参加升学考试，从中抽出300名考生的成绩进行分析。在这个问题中，总体是__________________________；个体是___________；样本是_______________________；样本容量是__________.

〖考点复习〗

2．可能性

[例2]如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，

指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：

甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了

乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形

丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等

丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。

其中你认为正确的见解有（A）

A．1个B．2个C．3个D．4个

〖考题训练〗

3．如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为

（填"甲"或"乙"）获胜的可能性更大.

4．中央电视台"幸运52"栏目中的"百宝箱"互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）

A、14B、15C、16D、320

一、知识归纳与例题讲解：

3、方差，标准差与极差。方差：顾名思义是"差的平方"，因有多个"差的平方"，所以要求平均数，弄清是"数据与平均数差的平方的平均数"，标准差是它的算术平方根。会用计算器计算标准差与方差。

例6：数据90，91，92，93的标准差是（）

（A）2（B）54（C）54（D）52

例7：甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x＝8，方差S2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（）

（A）甲的射击成绩较稳定（B）乙的射击成绩较稳定

（C）甲、乙的射击成绩同样稳定（D）甲、乙的射击成绩无法比较

例8：一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差、标准差和极差（标准差保留两个有效数字）

〖考题训练〗

15．质检员为控制盒装饮料产品质量，需每天不定时的30次去检测生产线上的产品．若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法：使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取.(要求写出具体的操作步骤)

①．下列事件是必然发生事件的是

A、打开电视机，正在转播足球比赛；

B、小麦的亩产量一定为1000公斤；

C、在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球；

D、农历十五的晚上一定能看到圆月．

②．下列说法正确的是()

A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生；

B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生；

C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；

D、不可能事件在一次实验中也可能发生

③．同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到5的点数，下列事件中是不可能事件的是（）

A.点数之和为12B.点数之和小于3

C.点数之和大于4且小于8

D.点数之和为13

④．冰柜里有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是()。

A、532B、38C、1532D、1732

⑤．若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为______.

⑥．一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是。

⑦．一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。

⑧．李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。

⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？

⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。

⑨．某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛．八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

概率的取值范围的意义，发展随机观念．·

3、能够运用列举法(包括列表、画树形图)计算简单事件发生的概率．

4、能够通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率

的估计值，理解频率与概率的区别与联系，并能够自主设计满足条件的概率模型．

5、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．

6、解进行模拟实验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟实验．

7、体会随机观念和概率思想

1、（08湛江）21．有五张除字不同其余都相同的卡片分别放在甲、乙两盒子中，已知甲盒子有三张，分别写有"北"、"京"、"奥"字样，乙盒子有两张，分别写有"运"、"会"字样，若依次从甲乙两盒子中各取一张卡片，求能拼成"奥运"两字的概率．

2、一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小亮从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．

3、（08茂名）18．（本题满分8分）不透明的口袋里装有3个球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除了数字以外都相同．

（1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？（2分）

（2）小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小东随机摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．现请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．（6分）

重点一

概率

表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率.

P(所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果.

概率的预测

(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果.

(2)要清楚所有机会的结果.

(1)、(2)两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率.

方法：画树状图、列表法.

事件的分类

1、确定事件

必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1

不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0

2、随机事件：当A是可能发生的事件时，0

二、达标训练

（二）填空题

1、在一个班级50名学生中，30名男生的平均身高是1.60米，20名女生的平均身高是1.50米，那么这个班学生的平均身高是________米.

2、已知一个样本为1，2，2，－3，3，那么样本的方差是_______；标准差是_________.

3、将一批数据分成五组，列出频数分布表，第一组频率为0.2，第四组与第二组的频率之和为0.5，那么第三、五组频率之和为_________.

4、已知数据x1,x2,x3的平均数是m，那么数据3x1＋7，3x2＋7，3x3＋7的平均数等于_________.

5、装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的"至少有1个是红球"与"没有红球"的概率分别为与

6、有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为"从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁"，则P（A）＝

列表法求概率

1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

树状图法求概率

1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

利用频率估计概率

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

三、统计概率教学中的困惑

7．通过活动的形式，来帮助我们学生去理解和认识，统计和随机现象，这样是不是一种好的处理方式?

用活动的方式来让学生做能非常好地发挥学生的积极性，他的热情非常非常好，自己去搜集数据，自己去先设计搜集方案，搜集数据，去查资料，然后来做，然后互相之间评价，评比，他就特别能容易挑出别人的毛病，这毛病实际上也可能就是他自己也有的毛病，然后有一个区分提高，我觉得这样一个过程，能让他终身不忘，他这样统计的结果。而我们要讲这个步骤，第一步怎么做，第二步怎么做，这东西我想就丧失掉了这样的意义了。

三、统计概率教学中的困惑

1．关于概率的定义的问题。有很多老师感觉没有定义不踏实，于是要抠这个定义，结果越抠越乱。

概率的确切定义是一个很难说清楚的问题，从某种意义上来说，它是一个哲学问题而非数学问题。所以在数学上对它进行的是一个公平化的定义，所谓的公平化，就是把它定义成一个具有可加性和非负性的量，也就是说把它跟长度、面积、质量、体积之类等同起来。这样的做法实际上在数学领域里是很常见的，比如在几何中，我们不讨论线和点的定义，只讨论它们之间的关系。既然在数学里有这样一个处理定义问题的方法，我们就只强调和把握概率最基本的特点--在相同条件下做重复实验，实验之前其结果不可预料，而它的频率则是稳定的。我想这样对我们理解、计算和应用概率，都是很有帮助的。而具体去抠什么是概率，甚至去抠什么是实验，不但无助于我们对概率的理解，反而会造成学生的迷惑。所以说虽然定义在数学里非常重要，但不能把它绝对化，因为它是一个无限上推，不可能完成的任务。所以我们在这里讲概率统计，特别强调案例的教学，希望通过大量例子来帮助大家理解其实质，而不是去苛求准确的定义。

（一）概率的定位

8．能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例71）。

9．通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例72）。

国民经济总产值，调查了经济发展中的物价上升趋势，根据这些数值可以做解释。比如这几个月，通货膨胀上升的趋势，它是随机测的，并没有把所有的消费水平，物价都算进去，但是我们要根据所得到的这些数据，作出一些简单的判断和预测，而基础就建立在我们的样本、图表和数据特征上。当然我们要认识到，这样的预测是有误差的，甚至还会有扭曲。

〖考题训练〗

1．下列事件中，属于必然事件的是（）

A、明天我市下雨

B、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数

C、抛一枚硬币，正面朝上

D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球

2．从一副扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（）

A、可能发生B、不可能发生

C、很有可能发生D、必然发生

三、统计概率教学中的困惑

4．有时候考试的时候，画图，对于这个直方图有一个数，属于它好，什么半开半避这些怎么看待这件事情。

画图的基本方法，当然要会，分组画图，但是呢，在很多细节里头，都不是很多，特别是我们数据中，抽样地来，有它的随机性，有误差，你说是左边避右边开，还是右边避左边开，都是问题不大，你比如说这个直方图，我们有了直方图以后，我们有时候把那个每一个小矩形的中间，连成一个折线，那么有的学生，有的老师就问了，这个我最右边这是在那儿，这边就没有了，这点要不要连呢，下面要不要连，就争吵这个问题，但是你要知道，比如说我考虑的是这个身高，比如说，我量初三人的身高，这一块是1米4到1米65的，那么为什么不可能就这个别还会有1米3，未尝估计一下是不可以的，还是可以的，但是如果我考虑这个，我这预期这孩子的年龄，他是从0开始的，0到5，5到10的话，你再连着这边出现负的就没有意义了。

统计它有很强的实际背景，但这实际背景需要结合，比如说出了一个矿难，我就非常关心死亡的人数，或者出了一个禽流感，这个人数，这个频数，这个数就变得非常平等，你说百分比就不行，一般人也不接受，但是如果从我考察一个学校里头，这老年人里头多少高血压的，可能百分比比那个频数，频率比频数就更重要了，在不同情况下，我关注的东西都是跟实际联系的，所以绝对不是直接地就抽象去做一个定义的。