数学知识点笔记(优秀20篇)

大家知道初三数学的学习方法有哪些吗?以下是小编整理的关于初三数学的学习方法，一起来了解一下吧。

初三数学的学习方法：

1、培养良好的学习习惯。什么是良好的学习习惯?它包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习等多个方面。

(1)制定计划。从而使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨练学习意志。

(2)课前自学。这是上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)专心上课。“学然后知不足”，这是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。课前自学过的学生上课更能专心听课，他们知道什么地方该详细听，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全盘抄录，顾此失彼。

(4)及时复习。这是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业。这是掌握独立思考，分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的必要过程。这一过程也是对学生意志毅力的考验，通过作业练习使学生对所学知识由“会”到“熟”。

(6)解决疑难。这是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并经常把容易错的地方拿来复习强化，作适当的重复性练习，把从老师、同学处获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结。这是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

(8)课外学习。课外学习是课内学习的补充和继续，包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。它不仅能丰富学生的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展学生的兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。

2、循序渐进，防止急躁。

由于学生年龄较小，阅历有限，不少学生容易急躁。有的学生贪多求快，囫囵吞枣。有的想几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。学习是一个长期的巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天!许多优秀的学生能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了相当熟练的程度。

3、注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。

数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

数学童话——两代情故事中的一颗明珠

两代情用他的智慧和智慧为人民而战，无情地嘲笑残酷无知的封建统治者，他们恨透了两代情。

一天，国王把两代情叫到宫里，煞有介事地对两代情说:“两代情先生，我听说你经常在外面说我的坏话。人们说你很聪明。我有一个问题。如果你能回答，我就宣判你无罪。如果你不能回答，那么惩罚将会加重。”

起初，国王想用这种方法作为报复两代情的借口。国王叫来三个盒子，对阿凡提说:"三个盒子里只有一个装有我的珍珠。"每个盒子上都写着一句话，但只有一个真理，其余的都是谎言。找出珍珠在哪个盒子里。两代情看了看，发现第一个盒子是红色的，上面写着“珍珠在这里”；第二个盒子是蓝色的，上面写着:“珍珠不在红色的盒子里”；第三个盒子是黄色的，上面写着:“珍珠不在这里。”阿凡提读完盒子上的字，立刻指出珍珠在哪个盒子里。国王和大臣们听了，惊讶得说不出话来。国王不得不放了两代情。

聪明的读者，你能找出珍珠在哪个盒子里吗？

在现实生活中，一切都遵循一个规则，不是这个就是那个，而不是两者都遵循。这条规则被称为排除中间法则。如果珍珠在红盒子里，天然珍珠不在黄盒子里，那么红盒子上的字和黄盒子上的字就是真理，这与“只有一个字是真理”相矛盾，所以这是不可能的。如果珍珠在蓝盒子里，天然珍珠不在红盒子和黄盒子里，那么蓝盒子和黄盒子上的字也是真的。因此，这也是不可能的。因为珍珠在三个盒子中的一个里，因为它不在红盒子和蓝盒子里，所以它一定在黄盒子里。

数学故事——奇妙的循环

画圆是圆规叔叔的专长，这让小点羡慕，大铅笔博士也让步了。小剪刀有点不服气，指着圆规叔叔说:"你只会画圆，但是你知道圆的一些特性吗？"

小点很惊讶，问道:“圆就是圆。还有什么？”

“当然！”小剪刀让大铅笔博士测量指南针叔叔画的直径。然后，他在圆圈上“点击”一把小刀，切割圆圈并画成一条直线。他非常神秘地说:“刚才用直径测量周长，你可以得到一个很好的数字。”

“我会的！”

小圆点踮起脚尖，俯下身说:“孩子，周长是直径的三倍多一点。”

“这有什么奇怪的？”小点继续问。

小剪刀说，“单独来说，这并不奇怪。有趣的是，每个圆的周长总是比直径的三倍多一点。小剪刀让圆规叔叔又画了几个圈。大铅笔博士和小剪刀测量了一下。如果是的话。

“这是三倍多一点，多少钱？我们的祖先很久以前就计算出了这个数字。它是一个无限的非循环小数，称为π，具体是3.1415926...我们通常取两位小数，即3.14。”

“什么什么？你害怕什么？你害怕什么？”

"不，不，圆周率是指圆周率."小剪刀笑着解释道。

圆点重复道:“π，3.14159……”

传说在德国历史上发生了这样一件有趣的事情。

16世纪，这个国家由许多独立的小国组成。其中有两个相邻的小国，它们以前是好邻居和友好国家。人们自由进出。甚至货币也可以使用，而且价值相等。后来，两国之间发生了冲突。尽管人民仍然可以自由旅行，但国王还是命令b国

如果中国的钞票在自己的国家使用，100元只能作为自己的90元。得知这一消息后，b国并未示弱，而是立即发布了同样的命令，以牙还牙。

也就是说，如果A国的钞票在他们自己的国家使用，100元只能作为他们自己国家的90元使用！一个名叫阿诺德的人听到这个消息后，连忙劝说两国的国王不要这样做

所以。否则，如果有人悄悄地跑腿，他们就会发财。两个国王都不相信。

阿诺德看到自己无法说服他们，就主动要求自己去做。两位国王给了他100元来测试。如果他能利用这个命令来发财，他将退出他的生活。

阿诺德从200元钱中取出一部分，去甲国购物，然后去乙国购物，在两国的商店间来回穿梭，几天后他就发财了。然后他把赚来的一大笔钱送给了国王。两国的国王们看到这一幕时都目瞪口呆。忙问他:“你怎么赚的

什么事？”在阿诺德讲述了如何赚钱的故事后，国王令人信服地点头，并深深理解了这种分裂

伤害，所以他们各自收回自己的命运，和解。你知道阿诺德是怎么赚钱的吗？

解决方法:阿诺德从A国带了100元到A国的一家购物中心购物，10元。当对方在找钱时，他声称去了B国并向B国要钱。这样，他本应该从A国得到90元的钱，但他却从B国得到了100元的钱。这时，除了乙国国王给的100元外，他还有200元乙国钞票。

阿诺德从B国拿了200元的钞票，并迅速跑到B国的商店索要20元的商品。当对方在找钱时，他声称要去A国，并要求退款。通过这种方式，他应该寻找他的180元(90元×2)的乙国钞票，但他得到了200元的甲国钞票。

就这样，他去a国购物，要求拿回b国的钱；在b国购物，向a国要钱？？这样一个循环，他手里的钱越来越多，用不了多久他就发财了。

数学系列故事的第二次数学危机

数学家受赠者说，你想创造什么数，我就能创造什么数。例如，我们想要创建16，因为16 x x = 16 x x，因为x可以等于0，它也可以等于1。此时此刻

16×0=16×1

Get 0 = 16，表示16是从无到有创建的。

在微积分的早期，由于坚实的理论基础(主要是极限理论)尚未建立，各种各样的问题就出现了，一些别有用心的人利用了这些问题。事实上，100多年来，没有人能清楚地回答这些问题。这是历史上第二次数学危机，这场危机的引发与牛顿直接相关。

直到19世纪初，情况才有所改变。以柯西为首的法国科学院的科学家们对微积分理论进行了认真的研究，并建立了极限理论。后来，德国数学家维尔斯特劳斯进一步加强了极限理论，使其成为微积分的坚实基础。前面提到的“量的幻影”可以用极限理论令人满意地解释。

1.s菱=争6(n、6分别为对角线长).

2.判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

(2)四条边都相等的四边形是菱形;

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

(1)菱形的四条边都相等;。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形.

(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：

4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形.

很多时候我们都在使用excel办公，但对于一些什么都不懂的人来说，使用excel就只有现学现卖了，下面将简单地介绍一下如何使用excel中的数学公式，一起来看看吧!

步骤

1、首先，我们先新建一个excel的文档。

2、然后我们可以看到我们已经建立好的一些数字。

3、首先，我们看到我们菜单栏中的开始选项。

4、然后点击菜单栏旁边的公式。

5、有一些函数使用的时候，我们就可以选择插入。

6、这里我们实现自定义函数，点击旁边的空白C1，然后点击上方的公式输入那里，输入=，然后输入A1， B1之类的，最后回车就可以自动帮你计算了。

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

【摘要】中考进入复习阶段，本网为同学们准备了一些历年各地的中考试题，欢迎大家参考练习，下面是中考数学圆专题复习辅助大家完成中考前的复习，在考试中取的好成绩!

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：

(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

(2)和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

数学故事——守卫的智慧

来自一个非洲国家的重要人物被邀请参观山区城市。市公安局安全部门和武警部队奉命加强一级安全保卫工作。因为根据情报，这个重要国家的政治对手正在组织派遣恐怖分子，而且他们很可能会在这座山城暗杀这个重要人物。贵宾参观完山城景点后，车队开到市政府广场前。看到广场上挤满了游客，这位平民出身的贵宾情不自禁地下了车，与游客们交谈起来。当时，安全工作一片混乱。根据他的保镖和我们外事部门的官员的建议，这个重要人物仍然不满意他在市政大厦的职位。

当这个重要人物刚刚消失在大楼的电梯里时，突然一个年轻强壮、肤色和衣着都与这个国家相称的男人向市政大楼冲去。武警立刻拦住了他:“请出示你的证件。”懂一些英语但不会说英语的警卫礼貌地拦住了年轻人。这个人听不懂警卫的话，耸了耸肩，摇了摇头，叹了口气。在警卫的帮助下，他花了半天时间才发现他需要检查自己的身份。因此，他从衬衣口袋里拿出一张证书，用英语告诉哨兵，这是国家安全部的证书。他是一位来访贵宾的保镖之一。刚才，因为他发现一些可疑的访客跟踪了他一段时间，他被耽搁了，不能带着贵宾进入市政大楼。当门卫基本上听清了对方的意思后，经过一番思考，他问自己胸前的代表团成员卡是否被发现了，但他解释说，刚才在人群中，因为游客们都挤着和贵宾说话，为了保护贵宾，他被挡在了前面，成员卡可能被挤了出来。听了他的解释后，卫兵们认为这是合理的，认为如果他们坚持不再释放他们，他们可能会影响两国之间的友好关系。所以警卫礼貌地告诉对方他们可以进入市政大楼。年轻人和中年人称赞了门卫的严肃，并向他致谢，然后走进大楼，向电梯走去。

当他正要进入电梯时，武警警卫冲过去抓住了他，并要求便衣警察给他戴上手铐。原来这个人是恐怖分子杀手。

警卫是怎么看穿他的？

1.乘方的意义

求n个相同因数的积的运算，叫乘方，其中，n为自然数，乘方的结果叫幂.

一般地，a·a·...·a(n个a)记作an，其中a叫底数，n叫指数，读作a的n次方或a的n次罪。指数为1时，可省略不写，底数是分数或负数的应添括号.

应用乘方的定义时，要注意分清底数、指数，如(-3)2与-32中，前者底数是-3，后者底数为3；前者指数对负数起作用，后者指数“管不住”负号，这两个幂不相等，是互为相反数.

注意(1)任何数的偶次幂都是非负数.

(2)-1的偶次幂得1，-1的奇次幂为-1.

(3)1的任何欢幂都得1，0的任何次幂都为0.

2.科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a

用科学记数法表示一个大于10的数时，10的指数(即n的值)比原数的整数位数少1.如原数有6位整数，n=5.

被表示的数若是负数时，用科学记数法表示一个数，不能改变被表示数的大小，并按记数的要求书写，不要遗漏了负号.

3.有效数字

经四舍五人的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫这个近似数的有效数字.

4.精确度

精确度是近似数的精确程度，一般表现为两种形式：

(1)精确到某一位

一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，如近似数0.576精确到千分位，或称精确到0.001.

(2)保留若干个有效数字

一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字，如近似数0.324是保留三位有效数字.

注意：给定一个近似数，要确定其精确度，主要是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置所决定的.

5.有理数的混合运算

规则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号内，计算过程中，灵活运用运算律.

八戒打开8号门，果然是安全的。当他走进房间时，他看到有两个用精钢制成的箱子。每个箱子都有一个圆孔，只有一只胳膊可以伸进去。八戒想，“它会在哪个盒子里？”猴子，你可以变成一只虫子，飞进去看看你是否想知道。"

悟空道:“八戒，你不要变个三十六岁，变个蚊子，进去看看。”八戒以前吃过亏，但这次他不敢轻举妄动。他把这两个盒子转了几个星期，说:"左边的盒子里有经文，但右边没有。"沙僧走上前，轻轻敲了敲箱子，说道:“我想右边的箱子里有经书，但左边没有。”

悟空开玩笑地说:“两边都不要，我猜左边也不要。”当每个人都在争论的时候，一个声音从房间里传来:“三个人中，一个是对的，一个是错的，一个是对的。”悟空听了:“我知道它在哪个盒子里。”沙僧道:“师兄，告诉我，在哪个箱子里？”悟空道:“沙兄，你以为你猜得对，就表示猪八戒猜得不对，同时也表示我猜得对，与我刚才说的不一致。所以猪的猜测是正确的，你的猜测是错误的，我的猜测是一对一的错误，完全符合我刚才说的。”

猪听说他猜对了，突然兴奋起来:“我说我是一只老猪，对吗？你还是不相信我的视力。看，我会给你带来经文。”八戒伸出手，从左边的盒子里拿出智慧经。当他打开时，只有这样几个字:"把真经带到三楼。"

数学童话-0及其数字兄弟

一天，一群特殊的“客人”来到了森林。它们的外表很特别，动物也很奇怪。他们被要求逐一介绍自己。第一个出来的是一个瘦子，他说:“我1岁了，又瘦又长，像一支铅笔。”然后另一只出来说:“我2岁了，像只小鸭子一样浮在水面上。”第三个说，“我3岁了，听起来像耳朵。”"我4岁了，像一面迎风飘扬的小旗.""我5岁了，像个衣钩.""我6岁了，笑得像豆芽一样.""我7岁了，像一把割草的镰刀."“我8岁了，有点扭曲。”"我9岁了，就像勺子能盛米饭一样.""我0岁了，就像一个正在做蛋糕的鸡蛋."他们刚刚介绍完，小鹿就问:“你们当中谁最大？谁是最小的？”9站起来自豪地说:“我9岁了，我是最大的。”“我是最年轻的，”他低着头说。“是的，这是零，没有任何意义。”9号用冰冷的语气说道。9刚说完，动物们和他们的数字兄弟们都笑了。0更尴尬。动物们不愿意玩它，因为它太没用了。他们一起唱歌！跳。非常开心。

突然，一头大象不小心掉进了一个洞里。这个洞又深又暗。大象在里面挣扎了很长时间。它非常努力地爬上去。它累得爬上爬下，直到大汗淋漓。它的腿断了，血流不止。但是，怎么也爬不起来，它只好喊“救命！救命。听到这些，动物们冲到洞口去救大象。数字1到9也来帮忙。他们形成了最大的数字987654321，这显示了他们最大的力量，并没有拉大象经过很多努力。这时，只有一个微弱的声音在背后说，“我试试看。“他们一看到是0，就不情愿地同意这也有帮助。他们重新组合成9876543210号，他们的力量立刻增加了十倍。哈哈的笑声...，大象立刻被拉了起来。动物们非常感激数字兄弟，但也为冷落了0而感到内疚。他们都来到0并且愿意和0交朋友。数字兄弟也开始重视0，并愿意和它一起玩。

从那以后，0不再感觉低人一等，它仍然感觉有用。

数学童话——美丽的猴子妈妈

猴子妈妈从街上回来，买了一些桃子。在洞口玩耍的小猴子从远处看到了它，并迅速抱起了她的妈妈。

"傻孩子，你为什么跑得这么快？"猴子的妈妈慈爱地摸着小猴子的头说:“妈妈，给我一个桃子。”猴子妈妈笑了:“好吧，拿走你的那份。”之后，母猴把袋子里的桃子分成四份。小猴子拿了一份，走开了，边走边喊着:妈妈给了我一个桃子。猴妈妈笑着说:“这个孩子……”

这时，第二个孩子回来了。第二个孩子上气不接下气地对妈妈说:“妈妈，你多给了我弟弟一个桃子，再给我两个。”猴子妈妈指着自己的阴茎说:“贪婪的魔鬼，我先给你两个。”说着，猴妈妈拿了两个桃子给第二个孩子，然后把剩下的桃子分成四份，第二个孩子拿了另一份，然后心满意足地走开了。

老板是最后一个到达的。他从母亲手里接过包，问她:“你累了吗？”猴子妈妈说:“不累，不累。”然后他说，“把袋子里的桃子拿出来吃掉。”老板打开包，说:“只剩三个了。”老板低声说道:“我听到弟弟说他又吃了一个，二哥说他又吃了两个。我总共只吃了三个？”猴子妈妈“哈哈”笑着说:“有多少就有多少。”猴子妈妈把除法的方法告诉了大哥。大哥害羞地说:“妈妈真的很公平。”

猴子妈妈也懂数学。小朋友，你说呢？

1、点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2、角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后(关于画法，后面会讲)一定要把线段穿出2点。

垂直平分线定理：

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;

判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形

3、相交线与平行线

角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角;如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。

4、三角形

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。

全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。

②条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

5、四边形

平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

多边形：①N边形的内角和等于(N-2)180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和(都等于360度)

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

1、图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2、图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比(根号5-1/2)。

相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AAA、SSS、SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

C、图形的坐标

平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。他们分4个象限。XA，YB记作(A，B)。

D、证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题(分真命题与假命题)。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然;SAS、ASA、SSS，反之亦然;同旁内角互补，两直线平行，反之亦然;内错角相等，两直线平行，反之亦然;三角形三个内角的和等于180度;三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和;三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

这是最简单，最基础的一种方法，当所求图形是我们常规的几何图形，例如三角形、正方形等。此时直接运用公式即可。例如：

和差法

和差法比公式法略微复杂，需要学生进行简单的判断，不过一般难度不大，只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。

1.直接和差法

2.构造和差法

在构造和差法中，通常需要学生构建自己的数学图形转化思维，学会通过添加辅助线求解。

割补法

割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。

1.全等法

2.对称法

3.平移法

4.旋转法

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助你迎接2020年中考！

曹操败走华容道是知名的三国故事，叙述的是曹操在赤壁大战中被三国刘备和曹操联合击败，逃走时历经华容道，又遇到三国诸葛亮的伏兵，关云长以便回报曹操对他的养育恩，协助曹操逃离了华容道。从而衍化出的游戏——华容道，带来大家无尽的快乐。华容道游戏以其变幻无常、百玩不腻的特性，被很多人所钟爱。

华容道归属于导轨滑块类游戏，便是在一定范畴内，依照一定标准挪动一些称之为“块”的物品，最终考虑一定的规定。

华容道有一个带20个小方格的旗盘，为4横格5纵格的股票盘面。旗盘上一共摆有10个不尽相同的棋子，各自意味着曹操、赵云、赵子龙、关平、黄忠、关云长和四个兵士。曹操是占4格的方形棋子；关云长、赵云、赵子龙、关平与黄忠四将各占2格；也有四个兵各占一格。旗盘正下方也有两格子周长的空格符，是供曹操逃跑的出入口。游戏全过程中只有运用股票盘面上留有的2个空格符空出的室内空间来挪动棋子，根据棋子中间的挪动，协助曹操从原始部位移到旗盘最正下方中间的出入口，从那边逃离。曹操取得成功逃离，游戏也就大获全胜了。

华容道有几十种阵型方式，如“横刀立马（图1）”“近在眼前”“过五关（图2）”“密不透风”“雪琴出巢”等。华容道的众多排序方式，能够 从而衍化产生比较复杂的残局。

华容道游戏假如只规定曹操逃离华容道，那麼并不会太难。可是许多 游戏玩家在娴熟游戏后，会考虑到怎样用至少的计步“取得成功肇事逃逸”。因此，华容道实际上还包括着繁杂的计算能力。

实际上，早在1952年，我国数学家许莼舫在《数学漫谈》一书里对华容道游戏就干了细腻的科学研究，他在实验的基本上持续开展探寻，小结出了100步的解法和几个游戏标准，能够 归纳为：四个小兵不可以分离，一定要两2组合在一起；关云长、曹操等将军在挪动的全过程中，前边必须2个小兵引路；曹操一旦挪动，后边务必有两个追逐的小兵。之后又历经世界各地高手的勤奋，游戏解法流程在慢慢降低。在1964年，由英国一位数学家乔治·加德纳得到了經典合理布局“横刀立马”的新解法，仅有81步便可取得成功，这也是华容道己知的最优解法。见到这儿是不是你摩拳擦掌了呢？

概率是初中数学的常考知识点，但考题难度不大。今天我们就通过了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。由浅入深，层层递进，利用所学知识解决问题。

概率的意义与表示方法

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。

确定事件和随机事件的概率关系

确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

确定事件和随机事件的概率之间的关系

古典概型

古典概型的定义

某个试验若具有：

①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；

②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型

古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为

列表法求概率

列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

树状图法求概率

树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

利用频率估计概率

利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

模拟实验

在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

常见考法

（1）判断哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件；

（2）直接求某个事件的概率。

误区提醒

对一个不确定事件所有等可能出现的结果数做了重复计算或漏算。

中心对称

1、定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

对称点

1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

数学故事——阿诺德的智慧

传说在德国历史上发生了这样一件有趣的事情。

16世纪，这个国家由许多独立的小国组成。其中有两个相邻的小国，它们以前是好邻居和友好国家。人们自由进出。甚至货币也可以使用，而且价值相等。后来，两国之间发生了冲突。尽管人民仍然可以自由旅行，但国王还是命令b国

如果中国的钞票在自己的国家使用，100元只能作为自己的90元。得知这一消息后，b国并未示弱，而是立即发布了同样的命令，以牙还牙。

也就是说，如果A国的钞票在他们自己的国家使用，100元只能作为他们自己国家的90元使用！一个名叫阿诺德的人听到这个消息后，连忙劝说两国的国王不要这样做

所以。否则，如果有人悄悄地跑腿，他们就会发财。两个国王都不相信。

阿诺德看到自己无法说服他们，就主动要求自己去做。两位国王给了他100元来测试。如果他能利用这个命令来发财，他将退出他的生活。

阿诺德从200元钱中取出一部分，去甲国购物，然后去乙国购物，在两国的商店间来回穿梭，几天后他就发财了。然后他把赚来的一大笔钱送给了国王。两国的国王们看到这一幕时都目瞪口呆。忙问他:“你怎么赚的

什么事？”在阿诺德讲述了如何赚钱的故事后，国王令人信服地点头，并深深理解了这种分裂

伤害，所以他们各自收回自己的命运，和解。你知道阿诺德是怎么赚钱的吗？

解决方法:阿诺德从A国带了100元到A国的一家购物中心购物，10元。当对方在找钱时，他声称去了B国并向B国要钱。这样，他本应该从A国得到90元的钱，但他却从B国得到了100元的钱。这时，除了乙国国王给的100元外，他还有200元乙国钞票。

阿诺德从B国拿了200元的钞票，并迅速跑到B国的商店索要20元的商品。当对方在找钱时，他声称要去A国，并要求退款。通过这种方式，他应该寻找他的180元(90元×2)的乙国钞票，但他得到了200元的甲国钞票。

就这样，他去a国购物，要求拿回b国的钱；在b国购物，向a国要钱？？这样一个循环，他手里的钱越来越多，用不了多久他就发财了。

你说，这是为什么？

解决办法:这个吝啬的富人一个月总共得到30万元。他需要向对方支付的总金额是:

1+2+4+8+16+32？？+536870912

= 1073741823(分钟)= 10737418.23(元)。即10，737，418元23美分。

白发老人开始审问大胡子。

白发老人问，“罗科在哪里？”

胡子低头不语。

白发老人又问:“你抢的财宝在哪里？”

胡子仍然低头不语。

白发老人生气了，“爸！”他用力拍了一下桌子，打翻了桌上所有的茶杯。吓得胡子一哆嗦。白发老人说:“既然你不想说什么，就不要怪我没礼貌！米切尔，把他拉出来，开枪打死他，然后把他扔进海里。”

米切尔答应了，把枪放在他的胡子上，说:“去，出去！”

当大胡子听说他会被枪毙时，他很害怕，说:“我说了，我说了。”

当白发老人看到大胡子男人说话时，他让米切尔把右手包起来，再给他点一支烟。

比尔德抽了两口烟，平静下来，说道:“我已经把罗克和财宝给了老板。”

白发老人进一步问道:“你的老板在哪里？”

比尔德指着一扇圆门说，“我们的老板每次都从那扇圆门出来，但他从来不让我进去。”

白发老人问:“你的老板长什么样？他是做什么的？”

大胡子又吸了一口烟，然后缓缓说道，“我们的老板又矮又胖，还秃顶，他已经50多岁了。他是我们l珠宝公司海外部的经理。”

“嗯？”白发老人皱起眉头问道:“你的海外经理不是罗伯特吗？”

“嘿嘿。”胡子冷笑两声说，“我们海外部经理怎么能亲自去抢宝物？罗伯特是我们经理的秘书。”

白发老人对米切尔说:“先把他绑起来！”米切尔用绳子把胡子绑在沙发上，并用布塞住他的嘴。

这两个人拿着枪向圆门冲去，并用手轻轻地推了推。圆门打开了。里面是一条长长的走廊，走廊的一边排列着三扇门，门上分别写着字母A、B和C。每扇门上都贴着两张纸，其中一张写着:“海外部门经理在这扇门前工作。”

以下注释内容不同:

“乙门的字条是谎言，”甲门上写着

“C门上的纸条是个谎言，”b门上写道

门丙写道:“门甲和门乙上的笔记都是谎言。”

米切尔看着笔记，摇摇头说，“真见鬼！三扇门都说海外部经理在里面，其他的门都说写着谎言。这就是我们可以找到真相的方法！”

白发老人也摇摇头说:“这是一个故意的诡计！”

米切尔有一种突然的冲动。他说，“不管他是不是真的，让我们打开每一扇门，看看他藏在哪里！”

“不，不。这会吓到人们的。”白发老人想了一会儿，说道:你能从这几句话中分析出经理在哪个门吗？"

“嗯，我记得。罗科曾经教过我解决这类问题的方法。”米切尔拿出笔，本在上面写道:

如果为真，则用1表示；如果是谎言，则用0表示。讨论了以下两种情况:门a的纸条是真的还是假的:

(1)如果A=1，则门上的注释为真。

因为“门乙上的纸条是谎言”写在门甲上，所以可以肯定的是，B = 0；

因为“门c上的音符是一个谎言”，并且B=0，也就是说，B是一个谎言，写在门c上的应该是真理，也就是说，c = 1；

因为“门A和门B上的注释是谎言”写在门C上，并且C=1，也就是说，C是真理，A=0，B=0。

然而，我们已经预先假定A=1，同时A等于0，导致矛盾。这表明这种情况是不真实的，也就是说，假设A是对的和错的。

(2)如果A=0，门上的说明是谎言。

因为“门乙上的纸条是谎言”写在门甲上，所以可以肯定的是，B = 1；

另一方面，在乙门上写着“丙门上的纸条是谎言”，而乙=1，即乙是真理，所以丙门上写的应该是谎言，即丙= 0；

因为“门A和门B上的音符都是谎言”，并且C=0，也就是说，C是谎言，所以A和B中的至少一个是真的，也就是说，A=0，B=1，或者A=1，B=0，或者A=1，B=1。因为我们预先假设A=0，所以我们只能选择A=0和B=1。

最后的结论是:A门是谎言，B门是真相，C门是谎言。

白发老人看着米切尔的计算过程，点点头说道，“只有b门才是真相。b门写着“海外部门经理在这扇门工作”。“这是真的！米切尔，我们冲进b门！”

这两个人抓起枪向b门冲去。门被撞开了。他们看到罗科双手被绑坐在沙发上，地上放着装有财宝的盒子。矮胖子经理看到有人冲进来，拿起冲锋枪向门口开枪。子弹呈扇形。白发老人无法躲闪，他的手臂被子弹擦伤，衣服被鲜血浸透。由于子弹太密集，白发老人和米切尔又撤退了。

米切尔看着白发老人的手臂，问道:“你受伤了吗，没事吧？”

白发老人微笑着摇摇头说:“没关系，只是擦伤。”米切尔赶紧给他包扎伤口。

白发老人说:“看来我们只能智取，不能强攻。”两人静静地研究着。