数学著作《九章算术》是数学家热门20篇

一元一次方程解法的一般步骤：

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：

(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;

(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)

(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号

(4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;

(5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.

8.同解方程

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

9.方程的同解原理：

(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

1、任意一个数加上52.8后再乘上5，减去3.9343得出的差再除以0.5，再减去该任意数的十倍再加上1，其结果永远等于521.1314。[(n+52.8)×5-3.9343]÷0.5-10×n+1=521.1314，其中n为任意实数。

2、我们的心就是一个圆，因为它们的离心率永远为零。我对你的思念就是一个循环小数，一遍一遍，执迷不悟。

3、我们就是抛物线，你是焦点，我是准线，你想我有多深，我念你便有多真。

4、零向量可以有很多方向，却只有一个长度。就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。

5、生活可以是甜的，也可以是苦的，但却不能没有你；就像分母可以是正的，也可以是负的，却不能没有意义，取值为零。

6、有了你，我的世界才有无穷大，因为任何实数，都无法表达，我对你深深的love。

7、我对你的感情，就像以自然常数e为底的指数函数，不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永驻。

8、不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗?

9、你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件。

10、如果你的心是x轴，那我就是个正弦函数，围你转动，有收有放；如果我的心是x轴，那你就是开口向上、Δ为负的抛物线，永远都在我的心上。

墨子与其弟子所作的著作是《墨经》。《墨经》是墨子的弟子及其再传弟子对墨子言行的记录，又被称作《墨辩》，着重阐述墨家的认识论和逻辑思想，还包含许多自然科学的内容，反映了后期墨家的思想。《墨经》内容广博，包括了政治、军事、哲学、伦理、逻辑、科技等方面，是研究墨子及其后学的重要史料

《墨经》的主要内容

墨家主张任人唯贤的用人原则，反对任人唯亲；反对统治者发动的侵略战争;主张对统治者要进行限制;主张节俭，反对铺张浪费。其《墨经》的政治思想，主要反映在《尚贤》、《尚同》、《非攻》、《节用》、《节葬》、《非乐》诸篇中。

墨子主张"兼相爱，交相利"，人们不分贵贱，都要互爱互利。墨子的伦理思想虽然抹杀了阶级性，带有空想的色彩，反映了广大劳动人民要求平等、反抗压迫、呼唤自由的心声。《墨子》的伦理思想，主要反映在《兼爱》、《亲士》、《修身》等篇中。

墨子主张把知识分为"闻知"、"说知"、"亲知"三类，"闻知"是传授的知识，"说知"是推理的知识，"亲知"是实践经验的知识。《墨经》的哲学思想，主要反映在《非命》、《贵义》、《尚同》、《天志》、《明鬼》、《墨经》诸篇中。

达朗贝尔(1717 ~ 1783)是18世纪法国著名数学家。传说他有一次在一个小数学问题上犯了一个错误，因为他没有仔细思考。

有一次，有人问他，“抛下两枚硬币，两枚都朝上的可能性有多大？”听完这话，达兰贝尔不假思索地回答道:“丢两枚硬币时，只有三种情况:①两者都是正面的；(2)一个是积极的，一个是消极的；(3)两者是相反的。因此，两者都为正的概率是。

大浪贝尔的答案是错误的。他哪里错了？正确答案是什么？

如果只有一枚硬币，我们都知道丢硬币时只有两种情况，要么面朝上，要么面朝上，面朝上的概率是。现在有两个硬币，我们不妨假设它们是“a”和“b”，那么下落时的情况可以用下表来表示:

显然，当丢下两枚硬币时，有4种可能的情况，那么两枚硬币朝上的概率应该是。

2015年中考即将来临，为了给各位同学以帮助，本网为大家整理了关于数学几何的知识点。

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

一、基本概念

1、有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做有序数对。

2、平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向

竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向

两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点

3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限

第一象限：x>0，y>0

第二象限：x0

第三象限：x

第四象限：x>0，y

横坐标轴上的点：(x，0)

纵坐标轴上的点：(0，y)

一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图所示，当k＞0，b＜O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

今天的数学课与往常不同。李小姐把全班分成三组。第一组和第二组各有10人。他们站在教室的两边，每个人都拿着一个“展示板”,上面有0到9的数字。其余的学生都在第三组，和李老师一起坐在黑板前。第三组学生的任务是依次说出李老师写在卡片上的计算公式，并担任第一组和第二组学生计算比赛的“裁判”。

游戏开始了。在第三组中，有计算卡，如76+4-8(计算的答案必须是两位数)。第一组和第二组将竞争看哪一组先找到答案。好的。第一组的肖敏和方芳高举着“7”和“2”牌，迅速走出队伍站在一起。“72”是这个公式的答案。第一组得了一分。

第三组有6×3-4等计算卡。根据上述方法，两组学生高举展示牌。

不知不觉中，铃声响了，大家都很开心，计算能力也大大提高了。

孩子们，你们不妨建议老师做这个游戏。在游戏中，每个人都应该互相关注，默契配合，这样才能轻松取胜。

八戒和悟空在操场上走了半天。猪感到口渴，于是他问一个小学生:“孩子，你学校的水在哪里？”学生:“食堂里有一口井。井里的水又凉又甜。”猪一路小跑到食堂。他看见食堂中央有一口大井。往井里看，他看不到井底。来自井底的水蒸气让人们感觉非常凉爽。八戒慌忙找水桶，却找不着。八戒失望之下，在墙上发现一张告示:“这井水是智慧山的泉水。如果你想喝水，你需要找到这口井的深度。根据井的深度，打开相应数量的柜门，取出水桶。如果答案是错的，打开橱柜的门不会得到水桶，另一扇门也不会再打开它！书名刻在井边！”

八戒环顾四周，发现角落里有一排柜子，每个柜子上都有数字。在井的边缘，还发现了一行小字:井的深度是用绳子测量的。绳子被折叠成3折，留在井外4米，绳子被折叠成4折，留在井外1米。这口井有多深？八戒想了很久，也没找到，只好解下腰带做实验，“哈哈，我知道了！”八戒激动地叫道。

许多小学生听到猪的叫声后跑了过来。他们问八戒如何知道井的深度。八戒得意地说:“绳子对折三次，绳子的长度超出井口4米，也就是说，绳子的长度相当于三口井的深度，比三口井的深度多3米。但是，如果折叠成四折，井口将增加1米，也就是说，绳索的长度相当于4个井深，将增加4米。根据四倍比，井的深度增加了三倍，而外面的绳子少了8米，所以井的深度是8米。”八戒自信地用一根8米长的棍子打开柜门，果然里面有一个水桶。猪用水桶打智慧山的泉水，喝够了！

数学故事——老木匠计算半径的绝妙方法

我没有时间做任何事情。我碰巧遇到一个老木匠(这个老木匠来自我们村，我们都认识他)，他正在为一个家庭制作木制品。我们互相问候。后来，老木匠用卷尺测量桶底，周长4英尺。老木匠说，“吴先生，你是老师。让我问你一个问题。刚才这个桶的半径是多少？”我一时说不出话来，说道:“老师傅，我的嘴怎么也想不出来。”

紧接着，老木匠引用了一个等于6英寸4的地板半径。我惊讶地听到老木匠引用了桶底的半径。

在我心里，我用公式C=2πr来检验老木匠的计算结果。我觉得很难，于是用笔和纸来测试:

R = (C/2π) ≈ 40英寸/2×3.14)≈6.37英寸≈6.4英寸。

结果与老木匠的结果只有一点点不同，老木匠的计算方法又快又准确。

这时，我更感兴趣，请告诉老木匠他的计算方法。老木匠说:“只要六个字:如果尺子变英寸，就多60%。”最初，老木匠的计算方法如下:四英尺四英寸，四英尺六英寸两英寸四英寸(即4英寸x 0.6 = 2.4英寸)，总共4英寸+2.4英寸=6.4英寸。

后来，我举了另一个例子:如果圆的周长是3英尺，老木匠的算法是:3英尺到3英寸(英尺到英寸)，361英寸到8英寸，总共3+1.8=4.8英寸。

使用公式C=2πr进行测试:r = (c/2π) ≈ 30英寸/2×3.14)≈4.78英寸≈4.8英寸。

结果几乎一样。这是为什么？

当我到家时，我对“增加60%”的算法做了一些研究:

假设圆的周长是C，半径是R，用代数表达式表示这个算法如下:

r=(C/10)+0.6×(C/10)=16C/100，π=C/2×(16C/100)=3.125 .

原来，老木匠把圆周率取为3.125，虽然有误差，但算法在估计半径时简单实用。

常见立体几何图形及性质:

①正方体:

有8个顶点，6个面。每个面面积相等(或每个面都有正方形组成)。有12条棱，每条棱长的长度都相等。(正方体是特殊的长方体)

②长方体:

有8个顶点，6个面。每个面都由长方形或相对的一组正方形组成。有12条棱，相对的4条棱的棱长相等。

③圆柱:

上下两个面为大小相同的圆形。有一个曲面叫侧面。展开后为长方形或正方形或平行四边形。有无数条高，这些高的长度都相等。

④圆锥:

有1个顶点，1个曲面，一个底面。展开后为扇形。只有1条高。四面体有1个顶点，四面六条棱高。

⑤直三棱柱：

三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形。

⑥球：

球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

考点：确定事件和随机事件

考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.

考点：事件发生的可能性大小，事件的概率

考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意：(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.

考点：等可能试验中事件的概率问题及概率计算

本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.

在求解概率问题中要注意：(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.

考点：数据整理与统计图表

本考点考核要求是：(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.

考点：统计的含义

本考点的考核要求是：(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.

考点：平均数、加权平均数的概念和计算

本考点的考核要是：(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.

考点：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算

考核要求：(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.

注意：当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.

考点：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图

考核要求：(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.

考点：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用

本考点的考核要是：(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.

“连接接入点”，英国石油公司。当河岸的垂直线aa 在m处穿过DE时，取 m = am并连接 p 。

“在△a‘BP’中，由于两边之和大于第三边，可以看出a‘p’+p‘b >a‘b

“从实践中可以看出△APA’是一个等腰三角形，且α=α’p，而α=α’p+铅=α+铅，所以存在α’+β>α+铅，且∠ α = ∠ β。

“通过类似的方法，也可以证明AP+PB距离是去城堡朝圣的最短距离。”

“我基本上明白。然而，小个子男人可能不知道，他会选择最短的路吗？”米切尔仍然有点担心。

“别担心！”罗科安慰道，“这个小个子很擅长数学。他不会不知道这一点。”

“在这种情况下，我有一个很好的方法来抓住小家伙。”米切尔在罗科的耳边低语了很久。罗科高兴地点点头。两人简单收拾了一下，悄悄向天池走去。

天还很黑，所以天池周围非常安静。过了一会儿，一个小脑袋从野猪洞里钻了出来，左顾右盼。看到周围没有人，他急忙拿着水壶跑到天池，弯腰去打水。是的，他是个小个子。

当小个子男人刚把水壶放进水里时，突然，一个男人从水里跳了出来。那个人喊道，“下来！”他把小个子男人从水里拉了出来。这个小个子不会游泳，所以他大声呼救。水里的人把这个小家伙倒了一半，送他上岸。罗科把岸上的小个子男人拉了出来，绑了起来。水里的那个人爬到了岸边，这是米切尔。

米切尔知道小个子男人的水的大概位置，并预先藏在水里。当小个子弯下腰去打水时，他被拉出了水面。

罗克和米切尔很高兴这个小男人还活着。

5、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

6、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将"分式方程"转化为"整式方程"。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

注意．方程的增根与遗根

(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．

(2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．

8、常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；

⑷配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

⑸．增长率问题：

⑹．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位"1"）。

⑺．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

注意语言与解析式的互化

如，"多"、"少"、"增加了"、"增加为（到）"、"同时"、"扩大为（到）"、"扩大了"、......

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算

如，"小时""分钟"的换算；s、v、t单位的一致等。

列方程（组）解应用题

是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

自古以来，我国就是一个数学的先进国家，但中国数学史写到明代，却似乎出现了异常。

明代：数学的沉寂时期

1937年，我国著名数学史专家李俨(1892 1963年)在其著作《中国算学史》中说：“近晚期算学，自明初至清初，约公元1367年迄1750年，前后凡四百年，此期算学

虽继承宋金元之盛，以公家考试制度久已废止，民间算学大师又继起无人，是称中算沉寂时期。”

1964年，著名数学史专家钱宝琮(1892 1974年)在其著作《中国数学史》中说：“明代中叶以后出版了很多商人所写的珠算读本，这些珠算书中虽保存了一些《九章算术》问题，对比较高深的宋元数学只能付之阙如，中国古代传统数学到明代几乎失传。”

1980年，梁宗巨(1942 1995年)在《世界数学史简编》中更是说：“自古以来，我国就是一个数学的先进国家……但是朱世杰之后，我国数学突然出现中断的现象，从朱世杰到明程大位的三个世纪，没有重要的创作。”

以上几位专家的论点虽不能代表全部，但在论及中国数学史方面的影响，却是相当有权威性的。

明代数学最高水平的代表著作

《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年(1524年)。全书分12本(由子至亥)42卷，近50万字。据劳汉生介绍：“《算学宝鉴》自成书后四百年间未见各收藏家及公私书目著录，民国年间由北京图书馆于旧书肆中发现一兰格抄本而得以入藏。”正是这一偶然发现，才得以将明代数学最高水平的代表作明示天下，而近些年专家学者们对这一手抄孤本研究的成果更是喜人。

1.通证古今，正本清源

《算学宝鉴》对当时见到的数学著作及民间算法、算题，均能“留心通证”，明确指出原书之谬;对“占病法”、“孕推男女”等不科学的算题一律不集。因该书有“通证”的毅力、“新集”的魄力，故有去伪存真、补缺续断、正本清源的结果。

2.有所创新，有所前进

《算学宝鉴》在通证的基础上，“复增乘除图草，定位式样，开方演段，捷径成术”。集算诗中提到的“悬空定位无踪影，带从开方有正翻”，正是其在学术上高人一等、算法上技高一筹的写照。

3.古术天元，并未失传

《算学宝鉴》研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵,这充分说明一元高次方程数值解法及天元术、四元术在明朝并未完全失传。王文素在解法中所用名词术语、演算程序，基本上与宋元数学一致，并有所发展和创新。

4.珍贵史料，不可多得

《算学宝鉴》系一部应用数学书，书中例举的米、肉、马、麻等价格资料应有尽有，船费、脚银、税种等经济史料不胜枚举。我们可以从这些资料透视当时的社会生活。

5.在世界数学史上的位置

王文素解高次方程的方法较英国的霍纳 Hirner 、意大利的鲁非尼 Ruffini 早200多年。在解代数方程上，他走在牛顿 I.New ton 、拉夫森 J.Raphson 的前面140多年。对于17世纪微积分创立时期出现的导数，王文素在16世纪已率先发现并使用。《算学宝鉴》中的“开方本源图”独具中国古代数学传统特色，国外类似的图首见于法国数学家斯蒂非尔 M.Stifel 1544年著的《整数算术》一书，较《算学宝鉴》迟20年且不够完备。

《算学宝鉴》虽尘封多年，但从对该书的研究可以得出这样的结论：王文素是继宋杨辉、秦九韶和元朱世杰后明代最杰出的数学巨匠，《算学宝鉴》是代表明代数学中兴的最高水平的数学巨著。王文素的数学成就是中国数学史连续性的有力证据，所谓“中国古代传统数学到明代几乎失传”的观点确实应该改变一下。

数学史中未被挖掘的宝藏

手抄孤本《算学宝鉴》直至1939年才被发现，见者不多，对其浩瀚长卷深入研究者不多。即使偶有人提及，也是将它与吴敬和程大位的书一样当作“商人所写的珠算读本”对待。这是王文素及其《算学宝鉴》成书400多年所受到的不公平对待。

《算学宝鉴》的产生是数学史发展的必然，而使其“几成腐尘”也有其特定的社会环境。《算学宝鉴》博大精深，但也被埋得太深了，正因如此，它成了数学史中未被挖掘的宝藏。

任继愈在《中国科学技术典籍通汇》总序中说：“中国古代的科学思想和科技成就，是中华优秀传统文化的重要组成部分，曾经在人类文明史上放射过夺目的光辉，对后世产生过重大影响，是一项特别值得挖掘整理的文化遗产。”而被埋没400多年却能代表明代数学最高水平的数学瑰宝――《算学宝鉴》则应该是等待有志之士来挖掘整理的有着丰富内涵的宝藏。

7.2坐标方法的简单应用

1表示地理位置的方法

1)用坐标表示物体位置

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程:

①建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;

②根据具体问题确定单位长度;

③在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.

如下图：

用坐标表示物体位置时

首先选择适当的位置为坐标原点,要以能简捷地确定平面内的点的坐标为原则

其次注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度;最后在建立坐标系时,应使尽可能多的点落在坐标轴上,使点的坐标比较简单.

2用坐标表示平移

(1)用坐标表示点的平移

(2)图形的平移

①在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度.

②在平面直角坐标系内,如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.

③平移作图

图形上的某一个点横向(或纵向)平移a个单位长度,则图形上的所有点都向这个方向平移a个单位长度.

作图步骤:

找出图形中的关键点;

作出这些关键点的对应点;

连接对应点即得变换后的图形.

数学故事——为什么1不是质数

所有自然数都可以分为三类:

(1)只能被“1”整除的数本身称为素数，如:2，3，5，7，11。

(2)除了“1”和它本身，能被其他数整除的数称为复合数，如:4，6，8，9。

(3)“1”既不是质数，也不是复合数。

有人想问，“1”只能除以1和它本身，为什么不能算作质数？在“1”被算作质数之后，把所有自然数分成质数和复合数不是更简单吗？

这从因式分解因子开始。例如，1001的本质就是用哪个数字来除1001。1001的质因数除以1001=7×11×13，只有这种分解结果，才能知道1001除了被1和它本身整除之外，还能被7、11和13整除。如果“1”也被算作质数，那么1001因子分解质数因子将产生以下结果:

1001=7×11×13

1001=1×7×11×13

1001=1×1×7×11×13

……

换句话说，几个因素“1”可以添加到分解公式中。这样做，一方面，没有必要找到因子1001，另一方面，分解素因子的结果不是唯一的，这增加了不必要的麻烦。因此，“1”不算质数。

今天我们开始讲因式分解。

以我对初中数学的理解，因式分解学通了，那么整个中学阶段所有的计算你都过关了，这个说法毫不夸张——换句话说，这是决定你计算能力巅峰的一个章节。

然而在学校里，现在这个内容分配的课时和它在整个中学数学中的地位是不相称的。所以我将用很长很长的篇幅来详细讲解因式分解及其延伸知识。

有人会说是不是小题大做？

你如果仔细研究一下高考数学的大题，特别是解析几何和函数的题目，简直就是各种因式分解的运用，这是直接的联系；至于间接联系那就不胜枚举了，甚至到了大学学高等数学的不定积分的时候，还要用因式分解来进行裂项呢。

因式分解的方法有很多，最根本的就是：公式法。

多项式的乘法是种很有意思的运算。除法当然是它的逆运算，而因式分解也可以看成是一种逆运算。而逆运算的重要性前面已经讲过了，这里就不再讲了。

你！想！得！美！

逆运算对于计算的检查来说绝对是神兵利器！用相同的方法检查是大忌！检查最好的办法就是逆运算而不是：

一！题！多！解！

重要的事情别说三遍，三十遍贼老师都能给你念叨过去。

不是我上年纪爱唠叨。有喜欢乒乓球运动的家长知道，高手的成长过程中，机械地重复一个技术动作是再平常不过的事情，通过成千上万次地练习，让肌肉产生记忆，动作不会变形。

同样的，对于重要的理念，在整个系列中我会时不时地提起，确保作为家长的你把这种正确的理念传递给孩子。

什么？就这么点？

对啊，就这么点，欧几里得五个公设还搞出了平面几何呢。。。

所以不要看不起这几个公式，组合在一起就是千变万化——当然，这里还有一些其他的分解技巧。

最基本的叫分组分解法。

我一直强调的是，任何方法、概念、定义、定理，一定要抓住其本质。所谓的分组分解，就是指待分解的因式经过一定的排列组合之后，可以提取出公因式来。

没错，敲黑板划重点：公因式。

所以，这确实是因式分解里最简单的一种——因为你只要花点笨力气，就一定能做出来。

比如我们先来看因式分解：

只要你有把子力气，就可以进行多次尝试：

这不就试出来了？

当然，这不是我们的终极目的，我们希望的是：一次成型！

这个，有难度。

我们知道，数学难就难在你在做题目的时候是不会有这么明确的指向的。那么多技巧综合运用，我怎么知道该用哪种方法，该怎么分组？！

问题是你连简单的都没练好，怎么可能复杂的能看穿呢？

就分组分解法来说，或者再具体一点，就上面这个例子，我们看到这个式子里有两个字母，所以如果你把所有的字母都岔开，分成的组各包含一个字母，就像题目本身那样，这个一定是错误的分解方式——一组只包含字母a，一组只包含字母b，公因式？连字母公用都做不到。

第二，次数相同的尽量在一起。对于高次的多项式，我们有平方差立方差，立方和等等公式——前提是大家次数是相同的项凑在一起，即所谓的齐次多项式。我们所有的公式里是没有高低次幂混搭在一起走波西米亚风的，一定是整整齐齐的。

有了这两条，直接就能把正确的分组情况给写出来了。

我们再来看一个。

按照之前所讲的办法，首先把字母岔开，然后齐次项。。。

等等，这个就是齐次多项式啊？！

这就是传说中的稍微变一变就束手无策？

齐次多项式不假，这个时候我们还有个对称性的想法，总是和考虑的嘛：

原式

剩下的就好办了。

最后再来一个带着化归的分组分解：

既然叫分组分解，那么这个时候又该怎么办呢？

这个时候好像前面讲的又用不上了。。。

数学永远就是这么尴尬。那这个时候该怎么办？

想想自己手上有什么！（字数太多打感叹号太累了）

既然这个多项式一个减号都没有，那么我们的公式可用范围立马缩小了；而且这个多项式是二次的，那么所有立方的公式也用不了了；于是只剩下和的平方的公式了。

是不是很合理？

然而和的平方的公式只有三项啊！而且只有两个字母啊！

那就先挑出三项只有两个字母满足和的平方的公式再说啊，我们把式子改写成：

先把前三项用起来：

我们发现，中间两项又有公因式了。什么？为什么不用最后两项？

不对称，看了难受。。。

这个时候，答案呼之欲出了，把x+y当成一个整体之后，这又可以走一波和的平方的公式了！

家长在指导分组分解的时候，一定要注意几个原则：字母岔开、对称、手上的工具！

不要光说多试试，再看看。要明确告诉孩子怎么试，怎么看。哪怕是没有头绪地进行尝试，也要让孩子有顺序地试，就像

的分解过程那样尝试，保留所有尝试的记录，不要重复尝试，也不要遗漏。

贼老师，怎么又是不重复，不遗漏？

你，上道了。

二、填空题

1（2014年山东泰安第17题）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）

【分析】：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．

【解答】：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，

所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），

反比例函数y=的图象位于第二四象限，

【点评】：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．

2（2014.福州第10题）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是【】

【考点】：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.

数学故事——冠军的秘密

哈定博士在美国南部的一次旅行中来到了一个村庄。那时，村民们正在庆祝丰收。过了一会儿，庆祝活动即将达到高潮，那就是激动人心的26英里长跑。但不知何故，主席发现人们的脸是如此阴沉，似乎不开心。所以他找到了唯一负责比赛的裁判，并问为什么。

裁判说:“这个村子每年举行一次长跑，冠军可以获得1000美元的奖金。老村长死后，他的儿子成了村长。他让自己的儿子乔安妮参加比赛。从那以后，乔安妮每年都赢得冠军，1000美元的奖金总是落入他的手中。村长为长跑设定了一个新规则:运动员不是一起出发，而是每五分钟出发一次，穿过那边的森林，在那里转一圈，然后跑出森林，回到原来的起跑线。乔安妮总是第一个跑。我敢肯定乔安妮跑进了森林，藏在里面直到差不多同一时间。你知道，我是这场比赛中唯一的裁判。我是从另一个村子打来的。我不怕这里的村长。我想揭露乔安妮的诡计，但没人帮我。这里的村民敢怒不敢言。村长命令任何人不得跟随运动员。此外，如果村民不参加长跑，村长将威胁增加税收。”

听完裁判的话，主席说，“你不需要任何人的帮助。你只需要一个卷尺来揭露他的诡计。”

裁判听取了主席的建议，并真实地展示了村长的真面目。

主席是如何揭露村长的诡计的？