趣味数学推理题（通用20篇）

列表或画树状图求概率

[例]随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）

A、B、C、D、1

[例]两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是

A．525B．625C．1025D．1925

[例]小明，小华用四张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗均匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。

（1）若小明恰好抽到的黑桃4。

①请在右边筐中绘制这种情况的树状图；

②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率。

（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。

怎么胎教？味觉胎教，并非可有可无，但是也不是想怎么来就怎么来的，找对了方法，才会收到更好的结果。

2个月(5-8周)

胎教重点

胎儿的听觉自孕后6周起就开始发育，但由于是最初的发育阶段，胎儿还听不到声音。传统音乐对胎儿有益，但如果准妈妈不喜欢听也没有必要强求。怀孕初期听觉胎教的重点是通过音乐舒缓准妈妈的情绪，为此，所有能安抚准妈妈惰绪的音乐都是适合的。

3个月(9—12周)

胎教重点：味觉、触觉、视觉

味觉胎教：孕11—12周前后，胎儿的味觉发育完成，可感受甜、酸等多种滋味。为此准妈妈也不要一味吃酸食，还要吃一些甜、苦、涩等多种味道，以利于胎儿味觉的发育。

触觉胎教：胎儿皮肤的感觉在孕后8周出现，到12周左右便与成人一样发达了。外胚层发育时，有的发育成皮肤，有的发育成大脑，为此有人称皮肤是人的第二大脑。这时，准妈妈经常进行一些轻柔的运动、舞蹈，可使羊水轻轻晃动进而刺激胎儿的触觉同时也能促进大脑的发育。

视觉胎教：胎儿的网膜在孕后4周开始形成，至28周时能感觉到光线的明暗。当然，胎儿在准妈妈的肚子里面是不可能看到外面的事物，但可以通过准妈妈的视觉间接感受这个世界。所以，准妈妈怀着轻松的心态观赏展览会、画展以及到大自然观赏美景，可以加强胎儿的视觉刺激。

胎教的好处

科学研究表明，大脑细胞分裂增殖主要是在胎儿期完成的，它有两个高峰期。第一个高峰期是怀孕的2～3个月，第二个高峰期是怀孕的7～8个月。如果在脑细胞分袭增殖的分裂便可趋于顶峰，为孩子具有高智商奠定了基础。调查表明，受过胎教(包括音响胎教和运动胎教)的孩子比没有受过胎教的孩子，其智商和情商有明显的优势。

20世纪60年代以来，科学家们经过研究发现：胎儿并非人们原先认为的母亲腹中没有感觉，而是具有奇异的潜在能力。第4个月时，胎儿能够皱眉、眯眼，有了脸部表情。5个月左右开始有听觉，能听到母亲器官的嘈杂声。实验报告指出，胎龄在4～5个月以上的正常胎儿，已经具备了人的一些感知能力，特别是听觉、视觉和触觉开始建立。当7～8个月时，便萌发出意识，具有记忆能力。胎儿的这种感觉、思维和记忆能力，使胎儿有可能与母体进行感情信息的传递，建立具有导致暗示作用的情绪联系，这在孩子出生长大后，仍能发挥很大作用。

以上发现可以说明实施胎教是有科学根据的。

胎教奠定宝宝的一生

教育要从零岁开始，也就是说，从受孕的第一天到宝宝出生的这一段时期，对胎儿的教育，即称为胎教。胎儿在五个月大时，已有听觉的反应了，胎儿的内耳、中耳、外耳等听觉系统建立在怀孕约六个月的时候，胎儿在母亲的子宫内，对外界的声音刺激会有反应，这些反应包括感受到母亲的心跳速度、血液流动的节奏、胃肠蠕动的韵律等;所以当母亲沉浸在轻柔曼妙的乐声中，胎儿不仅感受到音乐的节奏，在环绕着羊水、温柔的摇篮里，也随着母亲的心跳、呼吸一起成长;简单地说，你希望你的宝宝将来成为什么样的人、过什么样的日子，在怀孕期间就预先过这样的日子吧！所以，怀孕期间良好的胎教，对新生儿确实有许多好处，例如出生后宝宝不易哭闹、提升情绪智商指数，而近来流行的音乐疗法更印证，常听优美和谐的乐音，可刺激脑部分泌荷尔蒙，增进身体抵抗力，而所释放出的脑吗啡会使身心感到舒畅。因此，胎教的确有其必要性。

胎教有哪些方法下一页更加精彩

音乐胎教法

主要是以音波刺激胎儿听觉器官的神经功能，从怀孕16周起，便可有计划地实施。每日1次~2次，每次15分钟~20分钟，选择在胎儿觉醒有胎动时进行。一般在晚上临睡前比较合适，可以通过收录机直接播放，收录机应距离孕妇1米左右，音响强度在65分贝~70分贝为度。亦可使用胎教传声器，直接放在孕妇腹壁胎儿头部的相应部位，音量的大小可以根据成人隔着手掌听到传声器中的音响强度，亦即相当于胎儿在子宫内所能听到的音响强度来调试。腹壁厚的孕妇，音量可以稍大一些;腹壁薄的孕妇，音量应适当小一些。胎教音乐的节奏宜平缓、流畅，不带歌词，乐曲的情调应温柔、甜美。但要注意千万不能把收录机直接放在孕妇腹壁上给胎儿听。在胎儿收听音乐的同时，孕妇亦应通过耳机收听带有心理诱导词的孕妇专用磁带，或选择自己喜爱的各种乐曲，并随着音乐表现的内容进行情景的联想，力求达到心旷神怡的意境，借以调节心态，增强胎教效果。

对话胎教法

怀孕20周，胎儿的听觉功能已经完全建立。母亲的说话声不但可以传递给胎儿，而且胸腔的振动对胎儿也有一定影响。因此，孕妇要特别注意自己说话的音调、语气和用词，以便给胎儿一个良好的刺激印记。对话胎教要求父母双方共同参与，因为男性的低音是比较容易传入子宫内的，久而久之，也不失为一种良性的音波刺激。父母可以给胎儿起一个中性的乳名，如“平平”、“乐乐”等，经常呼唤之，使胎儿牢牢记住。对话的内容不宜太复杂，最好在一段时间内反复重复一两句话，以便使胎儿大脑皮层产生深刻的记忆。

抚摩胎教法

婴幼儿的天性是需要爱抚。胎儿受到母亲双手轻轻地抚摩之后，亦会引起一定的条件反射，从而激发胎儿活动的积极性，形成良好的触觉刺激，通过反射性躯体蠕动，以促进大脑功能的协调发育。孕妇每晚睡觉前先排空膀胱，平卧床上，放松腹部，用双手由上至下，从右向左，轻轻地抚摩胎儿，就像在抚摩出生后的婴儿那样，每次持续5分钟~10分钟。但应注意手的活动要轻柔，切忌粗暴。

触压、拍打胎教法

怀孕24周以后，可以在孕妇腹部明显地触摸到胎儿的头、背和肢体。自此时开始，每晚可让孕妇平卧床上，放松腹部，使胎儿在“子宫内散步”、做“宫内体操”。这样反复的锻炼，可以使胎儿建立起有效的条件反射，并增强肢体肌肉的力量。

呼唤胎教法

让胎儿更聪明“呼唤胎教法”即“母儿对话”，孕妇及其丈夫与胎儿进行语言沟通，包括讲一些儿歌。胎儿是有记忆的，呼唤他的名字，或“宝贝”、“乖乖”等称呼，出生后仍可辨认。

曾有这样一个事故，妻子怀孕期间，准爸爸经常向胎儿说：“小宝贝，你好吗？我是你爸爸！”同时抚摩胎儿。一直坚持这样做，他发现后来每当这句话一出现胎儿就会兴奋地蠕动起来。当这个孩子出生后出现不快时，父亲还习惯性地说：“小宝贝，你好吗？我是你的爸爸！”话刚出口，婴儿就像着了魔法一样突然停止了哭声，并掉转头来寻找发出声音的方向，后来竟笑了。以后每当孩子哭闹时，父亲都会说这句话，而每次孩子都能从哭闹中安定下来。

由此可见，父母通过声音和动作对腹中的胎儿进行呼唤训练，是一种积极有益的胎教手段。胎儿的潜能的章节已经讲过，胎儿具有辨别各种声音并能做出相应反应的能力，父母就应该抓住这一时机经常对胎儿进“对话训练”，也就是“呼唤胎教”。

孩子一出生就会马上识别出父母的声音，这不但对年轻父母是一个激动人心的时刻，而且对你的孩子来说，刚来到这个完全陌生的世界时，就能听到一个他所熟悉的声音，对他来说是莫大的安慰和快乐，同时消除了由于环境的突然改变而带给他心理上萨紧张与不安。

在对话过程中，胎儿能够通过听觉和触觉感受到来自父母亲切的呼唤，增进彼此生理上的沟通和感情上的联系，这对胎儿的身心发育是很有益的。

被称为中国的“欧几里得”以及中国数学史上“牛顿”的人是刘徽。刘徽是魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。在中国数学史上作出了极大的贡献，他的著作主要有《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。

中国欧几里得牛顿之称的是谁

刘徽(约225年—约295年)，汉族，山东滨州邹平市人，思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

刘徽的数学成就大致为两方面：一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系，数系理论、面积与体积理论。二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：“牟合方盖”说、方程新术、重差术等。

数学童话——一场未知的战争

“战争！有一场战争！”小华哥哥像闪电一样跑进了房子。萧蔷兄弟正专注于这个话题。小华的叫喊吓了他一跳。

“战争在哪里？”杰克·鲍尔问道。

“翻过这座山。”小华擦了擦头上的汗，上气不接下气地说道，“有两支军队从山的另一边过来了。它们真的很凶猛吗？兄弟，听着，隆隆的炮声多么清晰！”杰克·鲍尔仔细听着，听到微弱的枪声。

"奶奶从来没有邀请我们去山的另一边。"杰克·鲍尔假装生气。

小华用手挠了挠头，看起来很可怜:“但是看一场战争是多么有趣啊！”

虽然萧蔷和小华是兄弟，但他们长得很不一样。萧蔷哥哥又高又瘦，但他的头相当大，给人“瘦脖子大脑壳”的感觉。他在初中一年级学习，作业做得很好。他在区和市的比赛中获奖。我的弟弟小华又矮又胖，像一个小肉球。他比他哥哥小两岁，他在小学五年级。他擅长说话和移动，他的课也很合理。

“呵呵，我逗你玩呢！走，我们去山顶。”萧蔷说着，拿起望远镜，带着小华向山上跑去。

在山顶上，肖强举起望远镜看着山的另一边。嘿，两支军队打得很好。一支军队穿着红色军装，每个士兵的胸前都印着一个非常大的数字:8，10，12，14...是偶数；另一支军队穿着绿色军装，胸前的数字是5、7、9、11……都是奇数。

“嘿！有趣的是，奇数和偶数处于战争状态。让我们下去看看。”哥哥牵着哥哥的手跑下山。在跑几步之前，我听到有人在草丛中哭泣。杰克·鲍尔透过草丛，看到一个穿着华丽衣服的胖老头蹲在那里哭泣。当胖老头听到声音时，他转过身问:“谁？”

“是我。”当杰克·鲍尔看到这个人胸前的数字是0时，他问道:“你是0号吗？你为什么躲在这里哭？”

"我不是0号，我是0号。"胖老头说，上下打量着杰克·鲍尔和小华，“你的胸前没有写任何数字。看来你不是来自我们的整数王国！”

“什么整数王国？我们都是中华人民共和国的公民。”小华笑着对自己说:“我叫小华，是小学五年级的学生。他是我的哥哥萧蔷，初中一年级的尖子生。abc和xyz都学习过，并且在数学方面做得很好。地区和城市都赢得了奖项。”

萧蔷捅了小华一下:“别吹牛了！”

听完小华的介绍，胖老头的眼睛亮了，他高兴地说:“欢迎你？欢迎。你们两个来到了一个神奇的世界。这是由我统治的整数王国，零王。”

小华眨了眨眼，问道:“既然你是一个高贵的国王，为什么你一个人在这里哭泣？”

“咳嗽？说来话长。”零王正要往前走，突然传来一声响亮的号角声。一面巨大的红旗在偶数的队伍中飘扬。国旗上写着三个大字——“人数”。一名军官站在国旗下，穿着元帅的制服，靴子高高的，腰间挂着一把剑。他看起来非常强大，胸前写着一个“2”字。军官把手向前一伸，喊道:“许多伟人，加油！”偶数像潮水一样涌向奇数。

奇怪的一边站着一个同样外貌的军官，胸前写着“1”字？"

零王的话让杰克·鲍尔和小华大笑。零王转头看着两军交战的战场，说道:“此外，一号指挥官也不同意！当指挥官看到我们不同意时，他很焦虑。他撤出了偶数军团，迫使我们同意。一气之下，指挥官撤出了这个奇怪的军团，双方都打了起来。这样，对我来说会很痛苦。我成了光杆王！”说到这里，零王又想哭了。

萧蔷赶紧劝了几句:“零王，别太难过了。我认为这是一场令人困惑的战争。有什么办法可以阻止他们打架吗？”

零王拍了拍自己的大腿:“只有一个办法。”

小华急切地问，“最好的方法是什么？”

零王非常神秘地说道，“指挥官最好听毕达哥拉斯的话，如果你能用毕达哥拉斯这个词的话。他举起手喊道，“古怪的兄弟，反抗！“双方的军队相遇了，战斗达到了高潮。

小华呆呆地问，“零王，发生什么事了？”

零王首先指着奇怪的一边说:“那个军官是奇怪军团的指挥官。”他又指着偶数的一边说，“那个军官是偶数军团的指挥官。它们分别是正奇数和正偶数中最小的。他们是我的得力助手！”

小华问:“最小的正整数能做指挥官吗？”

“不，不。”零王摇摇头说，“他们都有一些特殊的技能。以指挥官2为例。他可以很容易地判断一个整数是否是偶数。”

小华笑着说，“我知道这个。任何可被2整除的整数都是偶数；相反，奇数是那些不能被2整除的数。”

零王高兴地拍手:“是的，是的，你是对的？”

萧蔷问道，“为什么偶数自称是男性？”

“啊！问题在于男人的数量。”国王zero解释道，“指挥官崇拜古希腊数学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯曾称偶数为男性，奇数为女性。指挥官觉得这句话很有意思，并强迫我把偶数和奇数改成男性和女性。他说，这样的变化将完全像一个人。”

小华着急地问:“你同意吗？”

“我不同意！你认为奇数和偶数是数字的本质。称他们为男人或女人毫无意义。你不想让偶数留胡子，让奇数留胡子来说服他，他肯定会听的。”

“试试看，你带我去见指挥官2！”萧蔷想成为一名调解人。零王高兴地把两兄弟带走了。

指挥官已经红眼了，挥舞着他的控制刀，左砍右砍。他从战场上下来之前，国王给他打了几次电话。

零王指着萧蔷和小华说:“这是一个中学生和一个小学生。这两兄弟想和你谈谈。”

指挥官擦了擦头上的汗水，生气地说:“我没看到我在指挥战斗！快说！”

肖强平静地问，“听说二号司令最喜欢听数学家毕达哥拉斯的？”

“哼！”指挥官哽咽着喊道。谁敢不听伟大的毕达哥拉斯的话？"

肖强笑着问，“司令，大毕达哥拉斯提到了相亲的次数，你知道吗？”

“相亲次数？我没听说过。”

“毕达哥拉斯经常说，‘谁是我的朋友，谁就是220和284’。后来，我把相亲次数作为友谊的象征。”

肖强的话引起了指挥官2的兴趣。他把他的指挥刀插进刀鞘:“快告诉我，这次相亲是怎么回事？”

……

常见立体几何图形及性质:

①正方体:

有8个顶点，6个面。每个面面积相等(或每个面都有正方形组成)。有12条棱，每条棱长的长度都相等。(正方体是特殊的长方体)

②长方体:

有8个顶点，6个面。每个面都由长方形或相对的一组正方形组成。有12条棱，相对的4条棱的棱长相等。

③圆柱:

上下两个面为大小相同的圆形。有一个曲面叫侧面。展开后为长方形或正方形或平行四边形。有无数条高，这些高的长度都相等。

④圆锥:

有1个顶点，1个曲面，一个底面。展开后为扇形。只有1条高。四面体有1个顶点，四面六条棱高。

⑤直三棱柱：

三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形。

⑥球：

球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

“姜太公钓鱼打一数学用语”的谜底是：公垂线。解谜思路：根据谜面，钓鱼可以理解为“垂线”，“姜太公钓鱼”即可以理解为“公垂线”。在这个谜语中，“姜太公钓鱼”是谜面，“打一数学用语”是谜目，谜底是公垂线。

姜太公钓鱼

在商周时期，太公姜子牙受师傅之命，下界帮助周文王推翻暴政。姜子牙觉得自己半百之龄、又和文王没有交情，很难获得文王赏识。于是在文王回都途中，在河的一边，用没有鱼饵的直钩钓鱼。

鱼钩一般是弯的，但是姜子牙却用直钩(那其实也不能叫钩了)、不用鱼饵。文王见到了，觉得这是奇人(古代人对奇人都很尊敬的)，于是主动跟他交谈，发现这真是个大有用之才，招入帐下。后来姜子牙帮助文王和他的儿子推翻商纣统治，建立了周朝。

一天，唐僧师徒来到智慧山悬崖边的一条小溪边。小溪清澈而湍急。猪牵着马到河边喝水。沙僧支起一个锅来煮。猴子去河边的果树上摘野果。

唐僧看到这里的美景，也在河边找到一块干净的石头打坐。突然一阵风把唐僧的帽子吹进了湍急的小溪。唐僧大叫道:“悟空，快来！给老师的帽子掉进了河里。”悟空看见老师在喊自己，就跑向老师。这时帽子已经离小溪100米远了。悟空飞向帽子，追了上去。最后，他在帽子掉下悬崖之前拿到了它。八戒听得师父叫唤，牵马回唐僧处。“猴子，你真快。如果你再靠近一点，帽子就会从悬崖上掉下来。”

悟空笑着说:“猪，我考验你了。当我开始追帽子时，帽子在100米之外。我只用了两秒钟就追上了那顶帽子。你认为我每秒钟跑多快？”八戒:“这个问题太简单了。100米除以2等于50米，这意味着你是每秒50米。”唐僧摇摇头，提醒八戒道:“八戒，你忘了那帽子也是随水而流的。”猪突然说，“哦！我已经忘记了这一点。如果水的速度是10米每秒，猴子的速度应该是(100+10×2)2 = 60米。”八戒羞涩地说，“没错。看来我在解决问题时得多考虑实际情况。”

2015年中考即将来临，为了给各位同学以帮助，本网为大家整理了关于数学几何的知识点。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

一元一次方程是同学们开始接触的最简单的方程，也是不少初一同学数学学习的难点之一，而这个难点并不是解方程，而是列出正确的方程。

其实列方程和解方程的主要目的就是解决实际问题，脱离的这一点，方程本身也就没有什么意义了，因此，一元一次方程的应用也成为了初一数学的主要考点。

列一元一次方程解应用题的一般步骤为：

1.审题

2.设元

3.列方程

4.解方程

5.检验

6.答题

一元一次方程常见的应用问题如下：

1.和、差、倍、分问题

2.行程问题

3.工程问题

4.数字问题

5.市场经济问题

6.储蓄问题

7.盈亏问题

8.配套问题

9.图表问题

10.几何问题

知道了列方程的步骤，也了解了常考的问题，那么怎么才能列出正确的方程呢？来看看黄老师的讲解吧，巧用“辅助元”，解决一元一次方程的应用，非常细致全面哦~

蒂丹走上前去问道:“伟大的数学家毕达哥拉斯，你为什么像个孩子一样玩鹅卵石？”

毕达哥拉斯严肃地说，“这是放鹅卵石的好地方。”你看，我在设置三角形的数量。"

蒂丹说，“有什么样的知识？”

毕达哥拉斯指着鹅卵石说，“你把相邻的两堆鹅卵石加起来会看到什么？”

1+3 = 4 = 22；3+6 = 9 = 32；6+10=16=42 .

经过计算，铁蛋笑了:“嘿，真有趣！”它们加起来正好是自然数的平方。"

你看，如果你把两堆相邻的石头放在一起，你就会得到平方数。毕达哥拉斯创造了三个正方形。

蒂丹上瘾了，说:“你可以改变另一种形状。”

毕达哥拉斯站起来，用手拍了拍土壤，说道:“你可以自己在这里玩。”我要去讲课。”然后他朝一个大房间走去。

"我想听一个伟大数学家的讲座！"铁蛋跟着跑了。

“住手！”一个拿着长矛的年轻人拦住了他。

蒂丹说，“我想听讲座。”

年轻人非常严厉地说，“给我看你的证件！”

蒂丹没有上课许可证，只能站在门口等待机会。

参加讲座的古希腊人一个接一个地发挥作用。蒂丹发现他们也没有上课许可证。他刚在门口举起右手，年轻的看门人就让他们进来了。

“是的，只要举起你的右手。不需要课程证书。”想到这里，铁蛋举起右手走了进去。

“住手！”那个拿着长矛的年轻人再次拦住了他。

蒂丹很生气。他喊道，“他们举起右手，让他们进来。我举起右手，为什么不让他们进来？”

年轻人回答道:“你不是毕达哥拉斯派！你的手掌上没有痕迹！”

“手掌上也有痕迹？我想看看他们手掌上有什么痕迹。”蒂丹想出了一个主意。他伸出右手对一个正在听课的古希腊人说:“你好！”古希腊人微笑着点点头，并伸出右手。

“啊，看清楚！”铁蛋迅速掏出圆珠笔，在她的手掌上画了一个漂亮的几何图形。

你知道铁蛋画的是什么图形吗？

数学故事——小熊选择演员

电影导演长颈鹿叔叔和副导演小熊选择了会爬树、会走钢丝、会骑马和骑自行车的猴子作为电影《猴子世界》的演员。

"据了解，郭华山有40只猴子."长颈鹿叔叔对小熊说:“去郭华丛林仔细调查，看看有多少人会爬树，有多少人会走钢丝，有多少人会骑马，还有多少人会骑自行车。”

小熊点头。

“严肃点，小心点！”长颈鹿叔叔再三催促。“我明白了！”小熊答应了，但他心里暗暗笑了，“这只是一件小事，还在唠叨。”

小熊跑了三步两步，直奔郭华山。

当趾高气扬的猴子听到小熊说他们想选择电影演员时，他们争先恐后地一个接一个地表演他们的技能。他们都无能为力。小熊看完表演后注册了一次。调查是严肃的！

小熊回来向长颈鹿叔叔报告:

有20个人会爬树。

有15个人能走钢丝。

有五个人会骑马。

有10个自行车手

“主任叔叔，有一点必须纠正:你说郭华山有40只猴子，但经过我的调查，应该有50只。”小熊严肃地说。

“出问题了！”长颈鹿叔叔摇摇头。“我曾经查过森林王国的户口簿。郭华山只有40只猴子。怎么会有10个以上呢？”

小熊不相信:“叔叔，20加15，5加10等于50。还是错了吗？”

长颈鹿叔叔突然大笑起来。“但你忘了一件事:在计算总数时，你不能简单地把它加起来。”

“不能简单地补充吗？！”小熊呆住了，伸出手去抓他的头皮。

长颈鹿叔叔解释道:“例如，有一只猴子，它有很强的力量和综合技能。他可以爬树、走钢丝、骑马和骑自行车。当你根据这四个项目注册时，你要分别考虑他，所以他在这四个项目中占了一个位置。因此，最终的总数肯定会是三个以上。猴子毕竟是40岁，但你加了10岁。

“哦，我明白了，长颈鹿叔叔！”

“这很好理解！”长颈鹿叔叔笑着问:“你现在打算做什么？”

小熊说:“现在我知道至少有10只猴子有两种或更多种能力。我会再去一趟郭华丛林，挑选一个多才多艺的演员！”

“是的，这次我和你一起去！”长颈鹿叔叔拍拍小熊的肩膀。

传说在德国历史上发生了这样一件有趣的事情。

16世纪，这个国家由许多独立的小国组成。其中有两个相邻的小国，它们以前是好邻居和友好国家。人们自由进出。甚至货币也可以使用，而且价值相等。后来，两国之间发生了冲突。尽管人民仍然可以自由旅行，但国王还是命令b国

如果中国的钞票在自己的国家使用，100元只能作为自己的90元。得知这一消息后，b国并未示弱，而是立即发布了同样的命令，以牙还牙。

也就是说，如果A国的钞票在他们自己的国家使用，100元只能作为他们自己国家的90元使用！一个名叫阿诺德的人听到这个消息后，连忙劝说两国的国王不要这样做

所以。否则，如果有人悄悄地跑腿，他们就会发财。两个国王都不相信。

阿诺德看到自己无法说服他们，就主动要求自己去做。两位国王给了他100元来测试。如果他能利用这个命令来发财，他将退出他的生活。

阿诺德从200元钱中取出一部分，去甲国购物，然后去乙国购物，在两国的商店间来回穿梭，几天后他就发财了。然后他把赚来的一大笔钱送给了国王。两国的国王们看到这一幕时都目瞪口呆。忙问他:“你怎么赚的

什么事？”在阿诺德讲述了如何赚钱的故事后，国王令人信服地点头，并深深理解了这种分裂

伤害，所以他们各自收回自己的命运，和解。你知道阿诺德是怎么赚钱的吗？

解决方法:阿诺德从A国带了100元到A国的一家购物中心购物，10元。当对方在找钱时，他声称去了B国并向B国要钱。这样，他本应该从A国得到90元的钱，但他却从B国得到了100元的钱。这时，除了乙国国王给的100元外，他还有200元乙国钞票。

阿诺德从B国拿了200元的钞票，并迅速跑到B国的商店索要20元的商品。当对方在找钱时，他声称要去A国，并要求退款。通过这种方式，他应该寻找他的180元(90元×2)的乙国钞票，但他得到了200元的甲国钞票。

就这样，他去a国购物，要求拿回b国的钱；在b国购物，向a国要钱？？这样一个循环，他手里的钱越来越多，用不了多久他就发财了。

圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离d>R+r

两圆外切d=R+r

两圆相交R-r

两圆内切d=R-r（R>r）

两圆内含dr）

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

数学故事-负数的介绍

今天，人们可以用正数和负数来表达两个意思相反的量。例如，如果冰点温度表示为0℃，开水温度为+100℃，负10℃记录为-10℃。如果海平面为0，珠穆朗玛峰的高度约为+8848米，最深的马里亚纳海沟约为-11034米。在日常生活中，人们经常用“+”表示收入，用“-”表示支出。然而，在历史上，负数的引入经历了漫长而曲折的道路。

古人在他们的实际活动中遇到了一些问题:例如，如果两个人互相借东西，同样的东西对贷方和借方有不同的含义；另一个例子是，从同一个地方，两个人同时朝相反的方向走。即使它们离起点的距离相同，它们的含义也不同。随着时间的推移，古人意识到仅仅用数量来表达一个事物是不全面的，似乎应该加上指示方向的符号。因此，为了表达意义相反的量，并解决减数小于减数分裂的问题，负数逐渐产生。

中国是世界上第一个使用负数概念的国家。《算术九章》已经开始使用负数，并明确指出如果“卖”是正数，那么“买”是负数；“剩余货币”是正数，而“货币不足”是负数。刘辉对《算术九章》的评注将正数和负数定义为“两种计算的得失相反”。同时，他还规定了有理数的加减规则。他认为“同一个名字的正数和负数是互利的，不同的名字是相互排斥的。”“相同名称”和“不同名称”是指当前的“相同数字”、“不同数字”、“除法”和“利润”为“减”和“加”。这些想法直到比中国晚800或900年才出现在西方。

印度直到7世纪才采用负数。628年，印度的书《梵天纠正系统》将负数解释为负债和损失。在西方，直到1484年，法国舒克才给出了二次方程的负根。1544年，德国的史蒂文将负数定义为比任何数字都小的数字。1545年，意大利人卡坦写了《大发》，成为欧洲第一本关于负数的书。虽然负数出现在人们的计算中已经有很长时间了，但是它们还没有被学术界所认识。直到17世纪，数学、力学和天文学才得到广泛发展。负数的使用可以大大简化计算，这就是负数正式进入数学的原因。特别是在1637年，法国数学家笛卡尔发明了解析几何并建立了坐标点，将平面点对应到由负数、零和正数组成的实数，从而解释了负数，从而加速了人们对负数的认识。然而，直到19世纪，德国数学家维尔斯特拉斯和其他人才奠定了整数的逻辑基础，负数才在现代数学中占据了坚实的地位。

蒂丹是一个数学迷。他非常崇拜古代数学家，梦想有一天能回到古代去见见这些数学圣人。

学校关门了。一天，铁蛋在外面玩。突然，天空中有一只尖锐的老鹰在呼啸。铁蛋抬起头来。一只巨大的鹰从天而降，一双像铁钩子一样的鹰爪径直向他扑来。

“老鹰抓到我了！”铁蛋转身跑了，但是已经太晚了。老鹰用一只爪子抓住铁蛋的皮带，用另一只爪子抓住它的衣领，把它举到半空中。

铁蛋在空中踢啊踢，大叫:“我不是鸡，你为什么抓我？”

老鹰突然开始说话。它说，“我是时间之鹰，我是神鹰。我可以带你回到古代的任何时代，见到任何你想见到的古代数学家。”

“上帝！”听到这些，蒂尔丹脱口而出，“我只想见见这些伟大的数学家。”他接着说:“你看到我这样飞，太痛苦了。你能让我骑你吗？”

“是的。”鹰的爪子一松开，它就发出一声长长的声音，像箭一样俯冲下来，立刻来到铁蛋下面，铁蛋牢牢地落在鹰的背上。

时间之鹰告诉他，“静观其变，我将带你去2000多年前的希腊见毕达哥拉斯，这位伟大的数学家是公元前6世纪的人。”

铁蛋只感觉到他耳朵里有风，不知道它已经飞了多久。老鹰开始坠落。铁蛋看到了下面一个像靴子一样的半岛，踢着一个足球形状的岛屿。蒂丹知道:“这不是意大利半岛吗？前面的足球是西西里！”

老鹰说，“是的，古代意大利的大部分属于希腊，毕达哥拉斯就住在那里。”

老鹰平稳地降落在地上，铁蛋看到一个古希腊人坐在地上玩小石头。

老鹰说，“他是毕达哥拉斯。”

蒂丹想，“伟大的数学家是怎么玩小石头的？”

毕达哥拉斯想让铁蛋对36岁发誓。铁蛋开始不明白，后来才意识到真相:

36=(1+3+5+7)+(2+4+6+8).

36包括整个宇宙！

铁蛋飞到时间之鹰上，对毕达哥拉斯说:“对不起，伟大的数学家。我从不发誓。再见！”老鹰发出一声铁蛋，飞出了房子。

时间之鹰在天空翱翔。下面是美丽的地中海。铁蛋知道它正在向南移动。不久，我看到了非洲大陆。下面一座宏伟的建筑吸引了铁蛋。

蒂丹问，“这是什么地方？”

大鹰说:“这是2000多年前的亚历山大图书馆。这是当时最大的图书馆，藏书数十万册。”

老鹰慢慢地降落在亚历山大图书馆前。铁蛋看见一个骨瘦如柴的老人坐在门口。他是个盲人，手里拿着一张写满数字的羊皮纸。他嘴里不停地说着什么。他旁边有几碗食物。一个打扮成王子的年轻人站在他旁边。

蒂丹走过去，好奇地问年轻人，“这个老人是谁？他怎么了？”

年轻人用手擦了擦眼泪，说道:“我是亚历山大王国的王子。这位老人是伟大的数学家埃拉托塞尼。他是我的老师，也是这个图书馆的馆长。”

蒂丹又问，“他为什么这么瘦？给老师更多好吃的！”

“唉！”王子贤叹了口气，然后眼泪汪汪地说:“我的老师曾经说过，他活着就是为了工作。但是不久前，他失去了视力，觉得自己再也不能工作了，生活在这个世界上也没用了。他不得不绝食并自杀。”

“啊！”铁蛋冲上前去劝说埃拉托塞尼，但劝说失败了。老人把手中的羊皮纸递给铁蛋，说:“这是我发明的寻找质数的方法。这叫做筛选。首先划掉1，然后划掉2的所有倍数，然后划掉3的所有倍数。这样，就像用筛子筛石头，剩下的就是质数了。”蒂丹抓住老人的手，喊道:“你不能饿死！”

“不，我下定决心了。我委托你一件事。”埃拉托塞尼从怀里掏出一封信，“请把这封信带给我的好朋友阿基米德，他住在西四里岛。”说到这里，老人歪着头死了。

铁蛋擦去眼泪，骑上鹰说:“来吧，我们去西西里找阿基米德。”

（一）概率的定位

1．经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。

统计最重要的是整个过程，统计就是要从数据里得到信息，在这个过程中收集、整理、描述、分析都是必须的。在教学中学生应该了解并学会如何处理统计的整个过程，不能很片面的认为统计仅仅是对内容的分析。

在小学的第一学段，即小学一到三年级，要帮助学生学会对于一些事物进行分类，其中包括一些对数据的分类，这种分类讨论，对于将来处理数据，是一个非常重要的基础。到了第二学段，学生应该不仅会收集数据，还应该可以处理一些数据，这就需要把数据用某种方式表达出来，比如说统计图表。学生经过整理数据，然后描述数据，最后分析数据的整个过程。所以整个这个过程，就像张老师强调的。在不同的年龄段，我们分析的对象不一样，分析的复杂程度不一样，但是这个基本过程始终是一样的。

在初中收集数据和在小学收集数据有什么差异。在小学收集数据，学生可能更多的是自己去收集，比如收集全班同学的身高，或者视力情况，那么到中学以后，学生不仅可以自己去收集，还可以去查阅资料，因为他学的知识多了，他可以利用现成的数据，比如说利用家长的资源，利用网络的资源，利用报纸上的一些信息，这样他数据的来源，就不仅仅是自己去调查，去收集，还有从别人那现成拿来使用的。从数据来看，比小学生就灵活多了、数据的来源也丰富多了。小学一个是自己收集，一个是老师提供他一些可以供他分析的数据，在初中，希望孩子接触的数据更多一些，所以他得到数据的来源，可能就丰富一点，这是和小学一个很大的差别。

沿着俄罗斯和波兰的边界，有一条很长的布格河。这条河流经俄罗斯的古城哥尼斯堡——也就是今天俄罗斯的西北边境城市加里宁格勒。巴格河穿过哥尼斯堡市。它有两条支流，一条叫做新河，另一条叫做旧河。当两条河流在市中心汇合时，它们就成为主流，称为大河。在新旧河流和大河之间，有一个岛屿区，这是城市的繁荣地区。这座城市分为北、东、南、岛四个区，有七座桥将它们连接起来。

人们长时间生活在河流和岛屿上，在七座桥之间穿行。有人问这个问题:你能一次通过所有七座桥，而每座桥只能通过一次吗？这个问题被提出后，许多人对此非常感兴趣，并进行了一个又一个的实验，但是很长一段时间，他们仍然没有解决它。最后，人们不得不向俄罗斯科学院院士欧拉提出这个问题，请他帮忙解决。

1737年，欧拉在30岁时接受了“七桥问题”。他心想:试试看。他从中间岛区开始，穿过桥1到达北部区域，从桥2返回岛区，穿过桥4进入东部区域，穿过桥5到达南部区域，然后穿过桥6返回岛区。现在，只有三号桥和七号桥没有通过。显然，从岛区穿过三号桥的唯一方法是先穿过一号桥、二号桥或四号桥，但这三座桥都已经过了。行动失败了。尤拉又换了一种方式:

东北岛、南岛、北岛

这种走路方式仍然不可行，因为五号桥还没有通过。

欧拉甚至不能尝试几种行走方式，这个问题真的不简单！他计算出行走的方式有很多种，总共有

7×6×5×4×3×2×1=5040种。

孩子，尝试一种方法和另一种方法需要多长时间才能得到答案？他想:你不能就这样尝试，你必须想别的办法。

聪明的欧拉终于想出了一个聪明的办法。他用A代表岛屿地区，用B、C和D分别代表北部、东部和西部地区，用弧形或直线段代表七座桥。结果，七座桥的问题变成了图论分支中的一笔问题，也就是说，上面的图形是否可以用一个笔头不重复地画出来。

欧拉集中精力研究这个图形，发现中间的每一点都有一条线画到那个点，还有一条线从那个点画出来。也就是说，除了起点和终点，穿过中点的线必须是偶数。就像上图一样，因为它是一条闭合曲线，所以，穿过所有点的直线必须是偶数。在这个图中，有五条线穿过点A，三条线穿过点B、C和D，它们都不是偶数。因此，无论从那一点开始，总有一条线没有画出来，也就是说，有一座桥没有到达。欧拉最终证明了一次走七座桥而不重复它们是不可能的。

天才的欧拉只用一步证明就总结了5040种不同的行走方法。从这里我们可以看到数学是多么强大！

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质

等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角

等角对等边边底的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法

（1）代入法（2）加减法

6、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。