一张长方形的纸，长75厘米，宽60厘米．现在要把它裁成同样大小且没有剩余的若干个小正方形，并且正方形边长为整厘米数，有种裁法．
分析：
75和60的公因数有几个，就有几种裁法．
解答：
75和60的公因数有1，3，5，15，所以共4种裁法．
点评：
应用求两个数的公因数解决实际问题．
A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是（ ）．
分析：
从分解质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数．
解答：
A=2×3×7；B=2×3×5，所以A和B的最大公因数是2×3=6．选C．
点评：
掌握用分解质因数法求两个数的最大公因数．
a÷b=12，a、b为非零自然数，a和b的最大公因数是（ ）．
分析：
有倍数关系的两个数的公因数是较小数．
解答：
a÷b=12说明a是b的12倍，所以b是两个数的最大公因数．选C．
点评：
掌握求两个数的最大公因数的特殊情况．
两个数的公因数的个数是有限的．
分析：
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身．
解答：
因为一个数的因数个数是有限的，所以两个数的公因数个数也是有限的．选A．
点评：
理解公因数的意义．
有三根木料，长度分别为120厘米、180厘米和300厘米．现在要把他们截成相等的小段，且每根都不能有剩余，每小段最长厘米，一共可以截成段．
分析：
本题实际上就是求120、180、300的最大公因数.
解答：
（120，180，300）=60，120÷60=2（段），180÷60=3（段），300÷60=5（段），2＋3＋5=10（段），所以每小段最长60厘米，一共可以截成10段．
点评：
应用求最大公因数解决实际问题．
把一块长8分米，宽6分米的长方形分割成同样大小的若干个小正方形，不许剩下，正方形的个数又要最少，那么可以割成块．
分析：
要想正方形的个数最少，那每块的面积就要最大，即边长也要最大，所以找8和6的最大公因数即可．
解答：
8和6的最大公因数是2，所以正方形的边长是2分米．8÷2=4，6÷2=3，3×4=12（块），可以割成12块．
点评：
应用求两个数的最大公因数解决实际问题．
有红花24朵，白花18朵，若扎成每束花中，红花和白花的朵数分别相等，且正好扎完，那最多能扎束，每束至少扎朵红花，朵白花．
分析：
本题实际上就是找24和18的最大公因数．
解答：
（24，18）=6，24÷6=4（朵），18÷6=3（朵），所以最多能扎6束，每束至少扎4朵红花，3朵白花．
点评：
应用求两个数的最大公因数解决实际问题．
找出分子和分母的最大公因数．
$\frac {7} {9}$;
$\frac {8} {36}$;
$\frac {18} {72}$;
$\frac {9} {15}$;
$\frac {7} {49}$.
分析：
找最大公因数的方法有：（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法；（4）短除法．
解答：
$\frac {7} {9}$分子和分母互质，最大公因数是1；$\frac {8} {36}$分子、分母的公因数有1、2、4，最大的是4；$\frac {18} {72}$分母72是分子18的倍数，最大公因数是较小数18；$\frac {9} {15}$分子、分母的公因数有1、3，最大的是3；$\frac {7} {49}$分母49是分子7的倍数，最大公因数是较小数7．
点评：
掌握求两个数的最大公因数的方法．
厨房地面长30分米，宽24分米，要铺正方形地砖，需选边长最大为____分米的的方砖，才能铺满地面．
分析：
因为用正方形铺地，所以边长相等，则找长和宽的最大公因数即可．
解答：
30与24的最大公因数是6，所以需选边长最大为6分米的的方砖，才能铺满地面．选C．
点评：
用求最大公因数的方法解决实际问题．
20和24的公因数有，和（按从小到大顺序填写答案）．
20和24的最大公因数是．
分析：
先分别找出20和24的因数，从中找出它们的公因数，最后再选出公因数中最大的一个．
解答：
20的因数有1、2、10、20；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24．其中1、2、4既是20的因数，也是24的因数，是20和24的公因数，最大的公因数是4．
点评：
理解公因数与最大公因数的意义．
找出下组各数的最大公因数；
3和21的最大公因数是；
18和19的最大公因数是；
25和40的最大公因数是；
48和18的最大公因数是；
13和2的最大公因数是；
16，28和52的最大公因数是．
分析：
找最大公因数的方法有：（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法；（4）短除法．
解答：
3和21有倍数关系，最大公因数是较小数，是3；18和19是相邻自然数，是互质关系，最大公因数是1；25和40通过短除法可得最大公因数是5；48和18通过短除法可得最大公因数是2×3=6；13和2是两个质数，一定互质，最大公因数是1；16、28和52通过短除法可得最大公因数是2×2=4．
点评：
掌握求两个数的最大公因数的方法．
最小的质数和最小的合数的最大公因数是1．
分析：
先分别写出最小质数和最小合数，再找其最大公因数，即可作出判断．
解答：
最小质数是2，最小合数是4，2和4的最大公因数是2，不是1．选B．
点评：
掌握找最大公因数的方法．
a÷b=$\frac {1} {2}$，a、b为自然数，a和b的最大公因数是．
当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数．
解答：
a÷b=$\frac {1} {2}$说明b是a的2倍，最大公因数是a．
点评：
掌握求两个数的最大公因数的特殊情况．
8和36的公因数有，，，，和（按从小到大顺序填写答案）．
18和36的最大公因数是．
分析：
先分别找出18和36的因数，从中找出它们的公因数，最后再选出公因数中最大的一个．
解答：
18的因数有1、2、3、6、9、18；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36．其中1、2、3、6、18既是18的因数，也是36的因数，是18和36的公因数，最大的公因数是18．
点评：
理解公因数与最大公因数的意义
1和任意非零自然数的最大公因数是1．
分析：
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
解答：
因为1只有一个因数1，所以任何非零自然数与1的公因数也只有1，选A．
点评：
1和任意非0的自然数都是互质数．
两个合数的最大公因数有可能是1．
分析：
举几个例子即可判断．
解答：
例如4和9，10和21等，虽然两个数都是合数，但除了1没有其它公因数．所以这句话是正确的，选A．
点评：
两个合数也可能是互质数．
a×b=32，a、b为非零自然数，a和32的最大公因数是（ ）．
分析：
当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数．
解答：
a×b=32，则32÷a=b，也就是说32是a的倍数，所以最大公因数是a．选A．
点评：
掌握求两个数的最大公因数的特殊情况．