二元一次方程的概念
已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1=0是二元一次方程，则m、n的值为（ ）
利用二元一次方程的定义判断即可.
解：关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1=0是二元一次方程，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 m-n-2=1 \\ m+n+1=1\end{array}\right.$
解得 $:\left\{\begin{array}{l}m=1 \\ n=-1\end{array}\right.$.
二元一次方程的解的概念
下列各组数中，不是二元一次方程2x-5y=3的解是（ ）
把各项中x与y的值代入方程检验即可.
解：$A,$ 把 $\left\{\begin{array}{l}x=1.5 \\ y=0\end{array}\right.$ 代入方程得 : 左边 $=3-0=3,$ 右边 $=3,$ 左边 $=$ 右边，不符合题意;
$B,$ 把 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=1\end{array}\right.$ 代 $\lambda$ 方程得 : 左边 $=-2-5=-7,$ 右边 $=3,$ 左边 $\neq$ 右边 $,$ 符合题意；
$C,$ 把 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=1\end{array}\right.$ 代入方程得 : 左边 $=8-5=3,$ 右边 $=3,$ 左边 $=$ 右边，不符合题意；
$D,$ 把 $\left\{\begin{array}{l}x=-6 \\ y=-3\end{array}\right.$ 代入方程得 : 左边 $=-12+15=3,$ 右边 $=3,$ 左边 $=$ 右边，不符合题意.
二元一次方程的解的个数
二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（ ）对.
由于二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数y=0代入，算出对应的x的值，再把y=1代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果.
解 : $\because x+3 y=10$
$\therefore x=10-3 y$
$\because x,y$ 都是非负整数
$\therefore y=0$ 时 $,\quad x=10$
$y=1$ 时 $,\quad x=7$
$y=2$ 时 $,\quad x=4$
$y=3$ 时 $,\quad x=1$
::二元一次方程 $x+3 y=10$ 的非负整数解共有 4 对
二元一次方程组的概念
下列四个方程组中，①$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 y=4 \\ 3 x-5 y=1\end{array}\right.$②$\left\{\begin{array}{l}x y=1 \\ x+2 y=8\end{array}\right.$③$\left\{\begin{array}{l}a-b=3 \\ \frac{1}{a}-3 b=4\end{array}\right.$④$\left\{\begin{array}{l}a+3 b=4 \\ 7 a-9 b=5\end{array}\right.$二元一次方程组有个.
根据二元一次方程组的定义进行解答.
①$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 y=4 \\ 3 x-5 y=1\end{array}\right.$
属于二元二次方程组.
②$\left\{\begin{array}{l}x y=1 \\ x+2 y=8\end{array}\right.$属于二元二次方程组.
③$\left\{\begin{array}{l}a-b=3 \\ \frac{1}{a}-3 b=4\end{array}\right.$中的第二个方程属于分式方程，它不属于二元一次方程．
④$\left\{\begin{array}{l}a+3 b=4 \\ 7 a-9 b=5\end{array}\right.$符合二元一次方程的定义．
二元一次方程组的应用
若关于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}x+2 y=2 k \\ 2 x+y=4 k\end{array}\right.$的解也是二元一次方程x+y＝4的解，则k的值为.
根据加减消元法将方程组变为一个方程，再根据已知条件即可求解.
解 $: \because$ 关于 $x,y$ 的二元一次方程 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2 \mathrm{k} \\ 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=4 \mathrm{k}\end{array}\right.$的解也是二元一次方程组x+y=4的解，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}x+2 y=2 k(1) \\ 2 x+y=4 k(2)\end{array}\right.$
$(1)+(2)$ 得 $x+y=2 k$
$\therefore 2 k=4$
$\therefore k=2$
二元一次方程的实际应用之配套问题
小明购买文具需要付32元，小明的钱包里只有2元和5元两种面值的若干张，则他最多有种付款方式.
根据题意可列出一个整式方程，但要分情况讨论结果要符合“只有2元和5元两种面值的人民币”，注意不要漏解.
解，设付出2元钱的张数为x，付出5元钱的张数为y，且x，y的取值均为自然数，
依题意可得方程 : $2 x+5 y=32$
则 $x=\frac{32-5 y}{2}$
解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}\frac{32-5 \mathrm{y}}{2} \geqslant 0 \\ \mathrm{y} \geqslant 0\end{array}\right.$
解得 $: 0 \leqslant y \leqslant \frac{32}{5}$
又∵是整数.
$\therefore y=0$ 或 1 或 2 或 3 或 4 或 5 或 $6 .$
又∵是整数。
$\therefore y=0$ 或 2 或 4 或 $6 .$ 从而此方程的解为$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=6\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=6 \\ y=4\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=11 \\ y=2\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=16 \\ y=0\end{array}\right.\right.\right.\right.$共有4种不同的付款方案 .