连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM，∠COB=∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．

解：连接OD，BC

CD⊥AB，OC=OD,

∴DM=CM，∠COB=∠BOD,OC∥DB

∴∠COB=∠OBD,

∴∠BOD=∠OBD,

∴OD=DB,△BOD是等边三角形.

∴∠BOD=60°，∠BOC=60°，DM=CM,

∴S_△OBC=S_△OBD，

∵OC∥DB，

∴S_△OBD=S_△CBD,

_∴S_△OBC=S_△CBD,

_{∴图中阴影部分的面积是}$\frac{60 \pi(2 \sqrt{3})^{2}}{360}=2 \pi$.

由∠C=45°，根据圆周角定理得出∠AOB=90°，根据S_阴影=S_扇形AOB-S_△AOB得出结论．

解：∵∠C=45°，

∴∠AOB=90°，

∴S_阴影=S_扇形AOB-S_△AOB=$=\frac{90π× 2^{2}}{360}-\frac{1}{2}× 2 × 2$=π-2.

问题要点

首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BOC的度数，再利用弧长公式计算．

解：连接OC，

∵OA=OC,∠CAO=70°，

∴∠OCA=∠CAO=70°,

∵∠AOC=40°，

∴∠AOB=140°,∠BOC=100°,

∴BC的长为$\frac{100 \pi2}{180}=$$\frac{10\pi}{9}$.

连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠BOC=2∠A=120°，由弧长公式即可得到结论．

解：连接OC,AB为圆O直径，

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

$\because \mathrm{AO}=4,$

$\therefore \mathrm{AB}=8,\ \mathrm{}$,$BC=4 \sqrt{3}$

∴$\ \sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{4 \sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

即$∠ A=60^{\circ}$，

∴$\mathrm{∠BOC}=2 \mathrm{∠A}=120^{\circ}$，

∴劣弧BC的长度是$\frac{120 \pi4}{180}=$$\frac{8\pi}{3}$.