问题要点

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

答案解析

将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.

易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，$B C = 2,A B = A C = 3,\text {且点} M \text {为} B C$边上的中点，

设内切圆的圆心为O，

由于$A M = \sqrt {3 ^ {2} - 1 ^ {2}} = 2 \sqrt {2},\text {故} S _ {\triangle A B C} = \frac {1} {2} \times 2 \times 2 \sqrt {2} = 2 \sqrt {2}$，

设内切圆半径为r，则：

$S _ {\triangle A B C} = S _ {\triangle A O B} + S _ {\triangle B O C} + S _ {\triangle A O C}$$= \frac {1} {2} \times A B \times r + \frac {1} {2} \times B C \times r + \frac {1} {2} \times A C \times r$

$= \frac {1} {2} \times ( 3 + 3 + 2 ) \times r = 2 \sqrt {2}$，

解得$r = \frac {\sqrt {2}} {2},\text {其体积} : V = \frac {4} {3} \pi r ^ {3} = \frac {\sqrt {2}} {3} \pi$.

故答案为：$\frac {\sqrt {2}} {3} \pi$.