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牛顿和莱布尼茨(图片来源:百度图片)

它是由牛顿和莱布尼茨在17世纪建立的。然而，随着它的诞生，一个全新的概念——无穷小随之而来。在微积分的规则中，它有时似乎参与了计算，有时又完全消失了。没有人知道它的确切位置，但是在一行又一行严格的数学证明中，它的影子像幽灵一样挥之不去。无穷小量已经成为牛顿一生的噩梦，也是被后人批判的微积分的最大缺陷。直到19世纪，严谨的分析才开始出现，无穷小量的神话在困扰世界一个半世纪后终于被澄清。

古希腊哲学家芝诺(照片来源:百度照片)

事实上，早在公元前500年，古希腊就萌发了微积分的核心思想——极限逼近。著名哲学家芝诺曾提出过四个芝诺悖论，可以说是极限思想的最早萌芽。在第一个悖论中，芝诺认为“运动是不可能的”。例如，如果一个物体想从点A移动到点B，它首先需要移动到点A和点B之间的中点C；然而，如果物体要移动到点C，它需要首先移动到点A和点C之间的中点D。通过类比，这种二分法可以无限地继续下去。这样的中点有无限多，所以物体永远不会到达点b。因此，物体不可能移动，因为它被道路的无限细分所阻挡。

基于同样的原因，芝诺提出了更多的悖论，如“落后的兔子永远追不上乌龟”、“飞箭不动的悖论”、“操场的悖论”等。在现实生活中，人们显然可以将物体从A点移动到B点，落后的兔子很快就会赶上乌龟。所有这些都指向芝诺悖论的谬误。然而，芝诺悖论所体现的空间观、时间观、无限观、连续性观和运动观给古希腊带来了深刻的困惑。这种混淆一直延伸到微积分的诞生。

不仅如此，古希腊科学家阿基米德还用“穷举法”计算圆的周长和面积，其核心方法非常接近17世纪的微积分思想。除了古希腊，中国古代的科学家在探索微积分方面也取得了惊人的进步。魏晋时期最伟大的数学家刘徽发明了割线法来计算圆的精确值。后来，在南北朝时期，数学家祖冲之把切圆技术发展到了极致。他计算出惊人的成绩，圆周率在3.1415926和3.1415927之间。这一成就甚至领先外国1000多年。

阿基米德和欧几里德(图像来源:百度图像)

古希腊数学在历史上留下了无数灿烂的财富，但随着希腊文明的衰落，它进入了一个持续数千年的沉寂期。从那以后，欧洲数学停滞不前。随着数学中心的转移，只有艾露奇的“元素”和阿基米德的思想进入了阿拉伯世界。从9世纪到16世纪，阿拉伯数学达到了顶峰。阿拉伯数学家不仅继承了希腊的几何思想，还独自创立了代数。直到欧洲文艺复兴之后，东西方沟通渠道才再次开通。失落的古希腊圣贤的思想，与阿拉伯数学家600多年的数学结晶相结合，再次回到了他们的故乡——欧洲。

开普勒和伽利略(图片来源:百度图片)

14世纪后，欧洲皇室开始花钱让科学家研究天地星的规律，以满足航海日历的需要。德国天文学家开普勒通过几十年的观测数据，最终发现太阳系中的行星沿着椭圆轨道运行。意大利科学家伽利略也发现投掷物体沿着抛物线运动。天文学和力学的研究成果进一步激发了人们对曲线研究的热情，代数在这一阶段得到了极大的发展。通过代数方法寻求几何问题的解已经成为研究曲线运动的一种新方法。所有这些都为解析几何的发现奠定了基础。

笛卡尔(照片来源:百度照片)

17世纪中叶，法国数学家笛卡尔创立了解析几何。解析几何的诞生迈出了从常量数学到变量数学的第一步，重新结合了自古希腊以来就被分离的代数和几何、数和形。受极限思想的启发，结合解析几何的可变思想，微积分作为一门新生的崭新学科，即将出现。它的诞生需要有人站在更高的角度，收集无数前辈的成就。使这一理论成为现实并赋予其无尽生命力的人是17世纪伟大的科学家伊萨克·牛顿。

微积分的出现很快在生产和实践中发挥了巨大的作用。通过微积分的预测，人们在草稿纸上的计算中偶然发现了海王星的踪迹，后来天文望远镜的观测证实了海王星的存在。这一旷达的科学成就使微积分成为无可非议的杰作，并给予牛顿无与伦比的荣誉和地位。牛顿时代的德国数学家莱布尼茨也独立发明了微积分。莱布尼茨还将现代符号系统引入微积分，一直延续到今天。后人把微积分的基本公式命名为牛顿-莱布尼茨公式，以纪念这两位科学天才的杰出贡献。

牛顿-莱布尼茨公式(图片来源:百度图片)

然而，在微积分开始的时候，牛顿和莱布尼茨的工作远非完美。牛顿引入计算微积分的流数法因其表达模糊而遭到最广泛的批评。1734年，英国哲学家兼大主教伯克利直接提出了一个尖锐的问题，并指出微积分的基础——无穷小问题。他指出，牛顿为了找到多项式x对n次方的导数，首先假设存在一个无穷小的d x，应用二项式的n次方(x+dx)，然后减去x到n次方，得到的增量除以dx，最后dx消失为0。这一假设的关键是无穷小dx起初不为零，但最终等于零。这种任意操作使得dx随意来去，成为一个幽灵般的存在。这个dx后来被称为“迷失的灵魂”，成为牛顿一生的噩梦。牛顿无法回答这个问题，不得不回避它。无穷小量的不确定性在数学领域引发了一个半世纪的争论，最终导致了数学史上的第二次危机。

在微积分的最初发展阶段，更多地强调形式计算结果，而忽略了其原理的可靠性。由于无穷小的概念尚未阐明，由此导出的导数、微分、积分和发散级数的和成为棘手的问题。

达朗贝尔和拉格朗日(来源:百度图片)

18世纪中叶，法国数学家达朗贝尔提出了极限理论作为分析严密性的基础。他以自己的方式把微分看作函数的极限，特别指出一个量是另一个量的极限定义。然而，他没有逃脱传统几何方法的影响，也没有以严格的形式表达极限。

几乎与此同时，另一位法国数学家，拉格朗日，试图摆脱无穷小和极限的概念，把任何函数扩展成无穷级数的和来定义所有阶的导数。虽然这种泰勒级数已经取得了一定的成果，但它也有很强的局限性。不仅应用极其繁琐，而且因为可以表示为泰勒级数的函数需要强约束，这极大地限制了可微函数的范围。拉格朗日的努力在某种程度上也失败了。

(图片来源:百度图片)

直到19世纪20年代，数学家们才开始普遍关注微积分的严密性。一系列闪亮的名字即将出现。他们开始了持续近半个世纪的接力赛，并最终在19世纪末为数学分析奠定了严格的基础。他们还把微积分放在一个前所未有的坚实基石上，从而成功地结束了第二次数学危机。

挪威数学家阿贝尔是第一个积极倡导和促进分析严格性的人。为了响应阿贝尔的呼吁，捷克数学家波尔扎诺在1816年明确提出了级数收敛的概念，并给出了导数等概念的适当定义。事情的重大转折归功于法国数学家柯西。

法国数学家柯西(照片来源:百度照片)

柯西在他的著作《分析教程》和《从1821年到1823年的无穷小计算讲义》中给出了一系列数学分析基本概念的明确定义。例如，他给出了极限的精确定义，从而建立了现代意义上的连续性、导数、微分、积分、无穷级数等概念。特别是，无穷小不是损失量的灵魂，也不是常数，而是以零为极限的变量。从那以后，柯西回答了自牛顿时代以来困扰世界的无穷小量的下落问题。

当维尔斯特拉斯建立了极限理论，戴德金建立了实数理论，康托集合论完成时，无穷小终于显现出来，再也不能隐藏在数学王国的角落里了。这是牛顿释放的一个幽灵，它花了150多年才被后人接受。追寻其神秘的踪迹直接促进了现代数学许多分支的诞生，并最终结束了第二次数学危机。

(图片来源:百度图片)

危机过后，一切都很平静，数学回到了和平与和谐的轨道上。不幸的是，好日子没有持续多久。第二次数学危机的结束很快引发了第三次数学危机。这一次的危机比以往任何一次风暴都要严重。这无疑是数学史上最深刻的意识形态对抗，其核心争论一直持续到今天。在某种程度上，第三次数学危机塑造了现代文明。许多开创性的想法都是突然产生的。他们不仅在现代数学中产生了丰硕的成果，而且深刻地改变了人类历史。从那以后，人类文明进入了梦想的快车道，并朝着更光明的未来加速前进。

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