小学数学故事:海盗的分币问题

海盗，你听说过他们吗？这是一群亡命之徒，抢劫钱财，在海上生活，做着舔刀头上的血的勾当。在我们的印象中，他们通常是瞎子，用一块黑布或者更重要的是一块黑色的皮肤来遮盖他们的坏眼睛。他们也有把财宝埋在地下的好习惯，并且总是画一张藏宝图，以方便后人挖掘。但是你知道他们是世界上最民主的团体吗？那些参与海盗的人都是顽固不化的人，他们不愿意听从人们的命令。船上的一切通常通过投票来解决。船长唯一的特权是拥有他自己的一套餐具——但是其他海盗可以在他不用的时候借用它。船上唯一的惩罚就是被扔进海里喂鱼。

现在船上有几个海盗，他们想分一些金币。自然，这些问题通过投票来解决。投票规则如下:首先，最凶猛的海盗提出分配方案，然后每个人都一一投票。如果50%或更多的盗版者同意该方案，则采用分配方案。如果不到50%的海盗同意，那么提出该方案的海盗将被扔进海里喂鱼，然后剩下的最凶猛的海盗提出该方案，依此类推。

我们必须首先对海盗做一些假设。

1)每个海盗的凶残程度是不同的，所有海盗都知道其他海盗的凶残程度，也就是说，每个海盗都知道自己和其他人在计划序列中的位置。此外，每个海盗都有很好的数学和逻辑，并且非常理性。最后，海盗之间不存在私人交易，因为除了他们自己，海盗不相信任何人。

一枚金币是不可分的，一半是你的，一半是我的。

3)当然，每个海盗都不想被扔进海里喂鱼。这是最重要的事情。

每个海盗当然都希望得到尽可能多的金币。

5)每个海盗都是现实主义者。如果他在一个计划中得到一枚金币，并且在下一个计划中有两种可能性，一种是得到许多金币，另一种是得不到金币，他会毫无侥幸地同意当前的计划。总之，他们相信森林中的两只鸟比手中的一只鸟好。

6)最后，每个海盗都喜欢其他海盗被扔进海里喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会投票让他的同伴尽可能多的喂鱼。

现在，如果有10个海盗来分100枚金币，会发生什么？

为了解决这样的问题，我们总是从最后一种情况中后退，这样我们就可以知道在最后一步什么是好的和坏的决定。然后利用这些知识，我们可以得到在最后的第二步应该做什么样的决定，等等。如果我们从一开始就直接解决问题，我们很容易被这样的问题所阻碍:“如果我做出这样的决定，下一个海盗会怎么做？”

这样，首先考虑只有两个海盗的情况(所有其他海盗都被扔进海里喂鱼)。记住他们是P1和P2，其中P2更厉害。当然，对P2来说，最好的计划是:他得到100枚金币，P1得到0枚。他自己的投票足够50%的人投票。

向前迈出一步。现在添加一个更加凶猛的海盗P3。P1知道——P3知道他知道——如果P3的计划被拒绝，游戏将只在P1和P2继续，P1将不会得到金币。因此，P3知道，只要P1得到一点糖，P1就会同意他的计划(当然，如果P1没有得到任何糖，P1宁愿投票给P3喂鱼)。所以对P3来说，最好的计划是:P1得1分，P2什么也得不到，P3得99分。

P4的情况类似。他只需要两票，给P2一枚金币就能让他投票支持这个计划，因为P2在下一个P3计划中什么也得不到。P5也是同样的推理方法，除了他想说服他的两个同伴，所以他给了P1和P3，每个人在P4什么也得不到，一枚金币，留下98给自己。

以此类推，P10最好的计划是:他获得96枚金牌，并给P2、P4、P6和P8每人一枚金币，而在P9计划中，他们什么也得不到。

以下是上述推理的表格(Y表示是，N表示否):

P1P2

0100

纽约

P1P2P3

1099

YNY

P1P2P3P4

01099

NYNY

P1P2P3P4P5

101098

YNYNY

……

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10

01010101096

纽约纽约

现在我们将宣传海盗资金分配问题:

1)改变规则，计划必须在投票中获得50%以上的票数(只有50%票数的计划提案人也将被扔进海里喂鱼)。如何解决10个海盗分享100枚金币的问题？

2)在不改变规则的情况下，如果给500名海盗100枚金币会发生什么？

3)如果每个海盗都有金币存款，他可以在分配计划中使用它。如果他被扔进海里喂鱼，那么他的存款将被加到金币堆里分发。这次呢？

通过对规则的微小改变，海盗的资金分配问题可能会有很多改变，但最有趣的可能是1)和2)(规则仍然是50%的选票。这篇文章只讨论这两种情况。

首先考虑1)。目前，只有P1和P2比P2差:一票是不够的，但即使他给P1 100金币，P1仍会把他扔进大海。不过，P2很重要，因为如果P3实施分配方案，P2会同意即使他不给P2一枚金币，这样P3就会有铁票P2！P3最好的计划是只拿100枚金币。

P4需要三票，P3肯定会反对他。如果P2得不到任何好处，P2也会反对，因为P2可以在P3的计划中得到拯救。为什么现在不把P4扔进海里？因此，P1和P2应该分别得到一枚金币，所以P4将有3票，包括他自己的1票。P4的计划是:P1和P2各有一枚金币，他有98枚金币。

五常的情况更加复杂。他还需要3票。P4会反对他，所以如果不给P3一枚金币，他就能支持他的计划，因为在下一个P4计划中他将一无所获。问题是P1和P2:只要他们中的一方支持它。然而，仅仅给一枚金币是不够的。在P4计划中，他们必须有一枚金币，所以只要他们随便选择其中一枚，就给两枚金币，另一枚会很抱歉，不会给。这样，五常计划是:97个成员国，1个P3，2个P1或P2。

P6的计划是建立在P5之上的，只要给每个没有从P5计划中受益的海盗一枚金币。应该指出的是，P1和P2都应该被视为没有从五常计划中受益:他们可能得到两个，但可能得不到一个，所以只要P6给他们一枚金币，按照“一鸟在林，不如一鸟在手”的原则，他们就可以支持P6计划。因此，P6的计划是独特的:P1、P2和P4各有一枚金币，P6自己拿走97枚金币。

如果这种情况继续下去，P9的计划是:P3、P5和P7各有一枚金币，然后从P1、P2、P4和P6中选择一个国家赠送两枚金币，P9自己将获得95枚金币。最后，P10计划是独特的:P1、P2、P4、P6、P8各有一枚金币，P10有95枚金币。

2)是最有趣的(提醒:让我们回到50%的规则)。原问题解决方案中的推理过程直到200名海盗都有效:P200给每个偶数编号的海盗一枚金币，包括他自己，而其他海盗什么也没得到。从P201开始，继续推理变得有点困难:P201必须什么都不留给自己，以免被扔进海里。相反，从P1到P199的所有奇数编号的海盗每人得到一枚金币，这样就赢得了100张选票，加上一张自己的选票，得以逃脱。P202什么也没得到。他必须用这100枚金币来购买100名无法从P201计划中得到任何东西的海盗。需要注意的是，目前的方案并不是唯一的方案:P201方案中得不到金币的海盗都是奇数的海盗，101(包括P201)，所以有101个方案。

P203必须获得102票。除了他的一票，他只有100金币，所以他只能得到100票，所以这个可怜的家伙被扔进海里喂鱼。然而，P203是一个非常重要的角色，因为P204知道如果他的计划没有通过，P203也会死，所以他有P203的铁票。所以P204可以松一口气:一票给自己，一票给P203，然后100票给100枚金币，他就会得救！幸运地得到金币的100个海盗可以是P1到P202的任何100个:因为偶数个海盗从P202方案中得不到任何东西，如果P204给他们中的一个人一枚金币，海盗肯定会同意该方案；然而，奇数编号的海盗只可能从P202方案中受益(概率为100/101)。因此，根据“一鸟在手，两鸟在林”的原则，如果可以得到一枚金币，他也会同意。

其次，P205不能把希望寄托在P203和P204的票上，因为即使他被扔进海里，P203和P204仍然可以通过P204的方案生存。尽管P206只能从P205的铁票中获得102票，加上他自己的1票和100枚金币，他也被扔进海里喂鱼。P207也好不到哪里去，他需要104票，而他自己和P205和P206的铁票加上100枚金币只得到100票中的103票——不得不出海。

P208很幸运。他也需要104票，但P205、P206和P207都将投票支持他的计划！凭借自己的一票和他买的100票，他终于逃脱了做鱼食的命运。

这样，我们就有了一个新的逻辑，可以一直推进下去。海盗可以什么都不留给自己，买100张票，然后依靠一些铁票，这些铁票注定会被扔进海里，从而让他们自己的计划得以通过。运气好的海盗有P201、P202、P204、P208、P216、P232、P264、P328和P456……...我们看到这样的数字是200加上2的幂。

哪些海盗是受益者？显然，铁票不是(不能)给金币的。因此，只有最后一个幸运数字和他以前的海盗才能得到一枚金币。因此，我们得到了500名海盗和100枚金币，并得出结论，前44名最凶猛的海盗被扔进了海里，P456给了100名海盗每人一枚金币，P1给P328。

就这样，最凶猛的海盗被扔进了海里，而最凶猛的海盗什么也得不到，只有最温和的海盗才能得到一枚金币。正如马太所说:“温柔的人有福了，因为他们将继承大地！”