数学故事——鬼谷子难题的答案

一天，鬼谷子从99个2到100的数字中选了2个，然后告诉庞涓他们的总数和孙宾他们的乘积。当然，庞涓不知道总数是多少，孙膑也不知道总数是多少。第二天，庞涓见到了孙膑，傲慢地对孙膑说:“虽然我不知道这两个数字是什么，但我肯定你也不知道。”“我不知道，但现在我知道这两个数字是什么了，”孙宾马上回答。庞涓想了一会儿说:“现在我也知道这两个数字是什么了。”

请问这两个数字是什么？

1.庞涓可以证实，孙宾当然不知道这两个数字。有几个推论。

庞涓的数据从5到197不等。

b)庞涓的和数不能分解为两个素数的和，否则就没有确定性。这可以分为两点:庞涓的手不是偶数，而是奇数，因为任何偶数都可以被分成两个素数之和，这是由哥德巴赫猜想所保证的；庞涓手中的奇数不是2+质数。例如，根据哥德巴赫猜想，如果庞涓有28岁，它可以被分成11+17。当孙膑得到181时，他马上就能猜出鬼谷子给他的两个数字是11和17。这与庞涓关于孙膑不知道这两个数的说法相矛盾，所以他排除了所有的偶数。例如，当庞涓手上的数是素数+2，例如，21，但它正好是19+2，那么孙膑手上的数是38，并且只有一种分解方法2*19，所以孙膑可以从一开始就确定这两个数。

c)庞涓的和不得是大于53的奇数。因为大于53的奇数总是可以被分为偶数和53的乘积(质数)，这个乘积只能唯一地推断出53和偶数的乘积，否则它将大于99。另一个97是质数，所以从97+2到97+98的所有奇数都应该排除。最后，剩下99+98的奇数，因为它们是最大的数字。孙膑可以推断出它们，与孙膑不知道的前提相矛盾，并自然排除了它们。因此，所有高于53的奇数都可以排除。例如，如果庞涓手里的数字是59，就有可能是53+6。当孙膑得到318时，只有一种分解方法:53*6，因为106*3和159*2中的106和159都大于99的最大值，这与孙膑预先的不确定性不一致。同样，可以推断195=97+98中间的所有奇数都被排除了，因为97是质数。

因此，当庞涓的奇数为53或更多时，就没有这样的保证。孙宾当然不知道这两个数字。

有10个这样的数字:11、17、23、27、29、35、37、47、51、53。

2.孙斌知道他手里的产品，说他本来不知道，现在知道了。这意味着，在看了孙斌手上的乘积之后，对应于因式分解的所有组合的总和只能是上述10个数字中的一个。换句话说，10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积和10的乘积是孙彬的乘积。这种积累有很多种。关键是庞涓的第三句话。

3.庞涓知道他手里的总数。当孙宾说这句话的时候，庞涓说他也认识这两个人物。庞涓手中的总和有一个特点，即除了一个可能的产品，其他所有可能的产品都包含在其他9个可能的产品中，否则庞涓没有这个信心。换句话说，从10个和数中找出的乘积组合中只有一对数没有出现在其它数的乘积组合中，而所有其它数的乘积组合必须有许多对数超过其它9个和数的乘积组合。

附注2、3和3。只有孙膑和庞涓知道他们手中的数字，他们才敢说这些话，这表明他们是有针对性的和独特的。仔细感受这一点。

我排名第4和第13。17的和是52。

17可分为(2+15)、(4+13)、(6+11)、(8+9)、(10+7)、(12+5)、(14+3)。

2*15=6*5，由11之和包含；6*11=33*2，由35之和包含；8*9=24*3和27；10*7=35*2，37；12*5=20*3，23；14*3=21*2，23。只有4*13不能被所有其他9个数字的乘积覆盖。