为了减重,使用了大量新型合金材料,飞机某合金部件由甲乙两种金属构成,已知甲、乙按质量比$2:1$混合后的密度与甲、乙按体积比$3:4$混合后的密度相等,则甲、乙的密度之比为 ,若该合金部件比传统上全部使用金属甲时重量减少了$50\%$,则该合金部件中甲、乙的质量之比为 .
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答案解析
甲、乙按质量比$2:1$混合时,${{m}_{甲}}=2{{m}_{乙}}$,
混合后密度:$\rho =\frac{{{m}_{甲}}+{{m}_{乙}}}{{{V}_{甲}}+{{V}_{乙}}}=\frac{2{{m}_{乙}}+{{m}_{乙}}}{\frac{2{{m}_{乙}}}{{{\rho}_{甲}}}+\frac{{{m}_{乙}}}{{{\rho}_{乙}}}}=\frac{3{{\rho}_{甲}}{{\rho}_{乙}}}{{{\rho}_{甲}}+2{{\rho}_{乙}}}$,
甲、乙按体积比$3:4$ 混合时,${{V}_{甲}}^{\prime}=\frac{3}{4}{{V}_{乙}}^{\prime}$,
混合后密度:${{\rho}^{\prime}}=\frac{{{m}_{甲}}^{\prime}+{{m}_{乙}}^{\prime}}{{{V}_{甲}}^{\prime}+{{V}_{乙}}^{\prime}}=\frac{{{\rho}_{甲}}\cdot \frac{3}{4}{{V}_{乙}}^{\prime}+{{\rho}_{乙}}{{V}_{乙}}^{\prime}}{\frac{3}{4}{{V}_{乙}}^{\prime}+{{V}_{乙}}^{\prime}}=\frac{3}{7}{{\rho}_{甲}}+\frac{4}{7}{{\rho}_{乙}}$,
两种方式混合后的密度相等,所以:$\frac{3{{\rho}_{甲}}{{\rho}_{乙}}}{{{\rho}_{甲}}+2{{\rho}_{乙}}}=\frac{3}{7}{{\rho}_{甲}}+\frac{4}{7}{{\rho}_{乙}}$,
解得:$\frac{{{\rho}_{甲}}}{{{\rho}_{乙}}}=\frac{3}{8}$或$\frac{{{\rho}_{甲}}}{{{\rho}_{乙}}}=\frac{1}{1}$ (不合题意舍去),
合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了$50 \% $,则${{m}_{合}}=\frac{1}{2}{{M}_{甲}}$,
使用合金和传统上全部使用甲制作该部件的体积应相等,所以${{\rho}_{合}}=\frac{1}{2}{{\rho}_{甲}}$,
由密度公式有:$\frac{{{m}_{甲}}+{{m}_{乙}}}{\frac{{{m}_{甲}}}{{{\rho}_{甲}}}+\frac{{{m}_{乙}}}{\frac{3}{8}{{\rho}_{甲}}}}=\frac{1}{2}{{\rho}_{甲}}$,解得:$\frac{{{m}_{甲}}}{{{m}_{乙}}}=\frac{2}{3}$.