已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=4-2t \\ y=t-2 \ \end{matrix}\right.$(t为参数),P是椭圆$\frac {x}{4}$+y2=1上任意一点,点P到直线l的距离的最大值是( )
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答案解析
分析:
把参数方程化为普通方程,求出点P到直线l的距离d=$\frac {2\sqrt {2}| sin(θ+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$,令 θ=kπ+$\frac {π}{4}$,即得d 的最大值.
解答:
解:直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=4-2t \\ y=t-2 \end{matrix}\right.$,(t为参数)故直线l的普通方程为x+2y=0.因为P为椭圆 $\frac {x^{2}}{4}$+y2=1上任意点,故可设 P(2cosθ,sinθ) 其中 θ∈R.因此点P到直线l的距离是 d=$\frac {|2cosθ+2sinθ|}{\sqrt {1+4}}$=$\frac {2\sqrt {2}| sin(θ+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$,故当 θ=kπ+$\frac {π}{4}$ 时,d 取得最大值
$\frac {2\sqrt {2}| sin(kπ+\frac {π}{4}+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$=$\frac {2\sqrt {10}}{5}$,所以选D.
点评:
本题考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,正弦函数的最值.求出点P到直线l的距离d=$\frac {2\sqrt {2}| sin(θ+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$,是解题的关键.