原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

解：原式 $=\left(\frac{a-1}{a-1}+\frac{1}{a-1}\right) \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$

$=\frac{a}{a-1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$

$=a+1$

当 $a=\sqrt{3}-1$ 时,$\quad$ 原式 $=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$.