有趣的数学故事:几个有趣的算术问题的分析

小学生学习珠算时，通常会做三个基本练习:自然数积累、三套清算和九套清算。

其中，自然数的累加是1+2+3+4+…+97+98+99+100。其计算结果可用常见的算术数列(第一项+最后一项)×项数\u 2的求和公式计算。从1到100是5050，根据这个公式可以计算任意数量的段的总和。

清朝的第三套也叫“看珍珠，玩珍珠”。首先用算盘拨123456789，然后从左到右加你看到的任何数字，第一次加完后从左到右加第二次和第三次。这个加法的结果是987654312。如果你在末尾加上9，它就变成987654321。

九盘清是先在算盘上拨123456789，然后反复加123456789，加九次后，结果是1234567890。

我从小就有一个非常聪明的头脑，但是我的手指很笨。我最害怕上珠算课。在课堂上，老师要求我们练习积累。完成从1到100的增加后，全班同学都一一举手。然而，在56岁、57岁、58岁的时候，我仍然在摸索算盘珠子，...我很尴尬，在拨了5050后偷偷举起了手。后来，老师发现一些学生每天都在作弊和改变。今天的需求从1增加到73，明天的需求从1增加到84，...，这使得每个人都不可能预测最终的计算结果。然而，对我来说，到10岁并不难。通过自己的分析，总结出用(第一个数字+最后一个数字)×数字\u 2的方法，在纸上偷偷写下答案，然后拨到算盘上与老师交涉。直到我在初中学习了数列之后，我才知道伟大的德国数学家高斯在他十岁的时候用这种方法计算了从1到100的增量。当我还是个孩子的时候，我很自豪拥有和著名数学家一样的思维方法。

对于三盘和九盘清理计算结果中的规律性数字，我小时候也偷偷的做过分析和研究，总结出了有规律性数字的原因。

事实上，原始数字连续三次乘以2，即乘以8，而123456789×8 = 123456789×(10-1-1)= 1234567890-123456789-123456789，因此从减法计算的垂直公式中可以看出，除了第一次减法的位数为0之外，被减数比减数大1。如果您先将三盘清零计算结束时添加的9加到被减数上，则第一次减少的位数为0，其他位数都为1，第二次减少的位数为1111111110-123456789。在这种减法的计算垂直形式中有一个有趣的规则:当减少的位数为0时，被减数必须从10位数中借用1才能变成10，而当减少的位数为0时，它必须从100位数中借用1才能变成10。类似地，100位数从数千人那里借款，数千人从数万人那里借款...计算时，标准被减数是从每个数字的开头开始的0，从前一个数字借用的被减数是10。每个数字是10减去减数。对于副热带，它是123456789，按顺序递增。最终的计算结果当然是987654321，依次递减。

对九盘清的分析相对简单得多。一个数字加九倍实际上是十个数字的和，所以十个数字的和当然是1234567890。

在上个世纪八十年代，有一个有趣的现象，台湾省的一个小学生在玩电子计算器时偶然发现的。如果你在计算器里输入12345679个八位数，然后乘以9，你会得到111111111，比如九个一。如果你把它乘以3，你会得到037037037，如果你把它乘以6，你会得到174174174174，...如果你把它乘以18，你会得到2222222222...只要在81以内。乘以3的倍数，会有一个三位数的循环，乘以9的倍数，会有九个连续的相同数字，9的倍数就是九个连续的1。当时，世界各地的许多人都用计算器尝试过这个规则，但他们只知道它是什么，不知道为什么。当时，宁波一位好奇的记者请当时宁波一中的校长、全国著名的高中数学老师陈守礼在《宁波日报》上撰文分析这一有趣现象的原因。然而，陈的分析是复杂的，每个人都难以理解。读完之后，我立刻用小时候分析三套清朝的方法对它进行了分析。我发现，这种计算器现象其实比分析三套清代更简单。我把我的分析发给陈老师，但他可能没有收到，也没有回复。现在我写下这个分析，并与广大数学爱好者分享。12345679×9 = 12345679×(10-1)= 123456790-12345679。从这个减法计算的垂直公式可以看出，前几个数字都比被减数大一个，二年级9到7年级没有8位十进制数字，但是单个数字0不足以从十进制数字中减去1，所以十进制数字也比被减数大一个，并且一位十进制数字被减数在借用1也比减数分裂大一个之后变成10。因此，乘以9的结果显示了具有九个连续1的111111111现象。乘以9的结果是每个数字都是1，然后乘以几倍(只要在9倍以内)，当然，每个数字都是几倍。现在让我们分析一下乘以3后的现象，12345679×3 = 12345679×9÷3 = 11111111÷3。从可被3整除的数的规则中，我们可以看到在三个连续的数字上加上三个1等于3可以被3整除，这样九个1可以被分成三个1，这样每一段中的111可以被3整除，从而产生一个三位数的循环。当乘数为81时，三位数字的循环数最大为999，如果数较大，第四位数字将改变前一个循环的值，因此只要乘数在81以内，12345679乘以3的倍数的结果将是三位数字循环的三个循环，而9的倍数将是九个相同的数字。