如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE．其中正确的是（ ）
全等三角形的判定综合
根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
∵BD＝CD
∠BDF＝∠CDE
DF＝DE
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F=∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF，故⑤错误.
已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）个.
根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
OD＝OE
OP＝OP
，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
同理，△POD≌△POE，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意
角平分线的判定
如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD=2，AB=7，则△ABD的面积为（ ）
角平分线的性质
根据角平分线的性质得出DE=CD=2，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD=2，
∴DE=CD=2，
∵AB=7，
∴△ABD的面积是：
$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×7×2=7.
如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（ ）
等腰三角形三线合一
根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，
∴CD=5．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30，$AD⊥AB$，交 $BC$ 于点 $D$，$AD=4$，则 $BC$ 的长为（）
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边是斜边的一半，而不是另一条直角边是斜边的一半.
$\because A B = A C,$
$\therefore \angle B = \angle C = 30 ^ {\circ} . $
$\because A B \perp A D,$
$\therefore B D =2 A D = 2 \times 4 = 8,$$\angle B + \angle A D B = 90 ^ {\circ},$
$\therefore \angle A D B = 60 ^ {\circ} .$
$ \because \angle A D B =\angle D A C + \angle C = 60 ^ {\circ},$
$\therefore \angle D A C = 30 ^ {\circ},$
$\therefore \angle D A C = \angle C,$
$\therefore D C =A D = 4,$
$\therefore B C = B D + D C =$$ 8 + 4 = 12$，
故选选项C.
如图，等边$\triangle A B C$的边长为$4$，$A D$是$B C$边上的中线，$F$是$A D$上的动点，$E$是$A C$边上一点，若$A E = 2$，当$E F + C F$取得最小值时，$\angle E C F$的度数为（ ）
如图，过$E$作$E M / / B C$，交$A D$于$N$，交$A B$于$M$，连接$M F$.
当$C$、$F$、$M$三点共线时，$E F + C F$的值最小.
∵$A C = 4$，$A E = 2$，∴$E C = A E = 2$，∴$A M = B M = 2$，
∴$A M = A E$，∵$A D$是$B C$边上的中线，$\triangle A B C$是等边三角形，
∴$A D \perp B C$，∵$E M / / B C$，∴$A D \perp E M$，
∵$A M = A E$，∴$E$、$M$关于$A D$对称.
∵$\triangle A B C$是等边三角形，
∴$\angle A C B = 60 ^ {\circ}$，$A C = B C$，∵$A M = B M$，
∴$\angle E C F = \frac {1} {2} \angle A C B = 30 ^ {\circ}$，故选选项C.
