方程$mx^{2}-3x=x^{2}-mx+2$是一元二次方程,则$m$应满足的条件为.
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一元二次方程的定义
答案解析
利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值.
解:方程整理得:(m-1)x2+(m-3)x-2=0,
由题意得:m-1≠0,即m≠1.
方程$mx^{2}-3x=x^{2}-mx+2$是一元二次方程,则$m$应满足的条件为.
一元二次方程的定义
利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值.
解:方程整理得:(m-1)x2+(m-3)x-2=0,
由题意得:m-1≠0,即m≠1.
如果方程$(x-5)^{2}=m-7$可以用直接开平方求解,则m的取值范围是
解一元二次方程直接开平方法
根据偶次方的非负性得出不等式,求出不等式的解集即可.
解:∵(x-5)2=m-7可以用直接开平方求解,
∴m-7≥0,解得:m≥7 .
公式法解一元二次方程
当$\Delta \geq 0$时,方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$通过配方,其实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $的求根公式. 将各系数直接代入求根公式,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
$\Delta > 0$ | 方程有两个不等的实数根$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$ |
$\Delta = 0$ | 方程有两个相等的实数根 |
$\Delta < 0$ | 方程无实数根 |
利用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把方程化为一般形式,确定的值;
(2)求出$\Delta = b ^ {2} - 4 a c$的值;
(3)若$\Delta \geq 0$,则将$a$,b,c的值代入求出方程的根,若$\Delta < 0$,则方程.
二次函数的概念
一般地,形如的函数叫做二次函数. 其中是自变量,二次函数的二次项系数是、一次项系数是,常数项是. 自变量的取值范围是.
(1)若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0(b,c可同时为0);
(2)若y=ax2+bx+c为一次函数,则a=0且b≠0;
(3)二次项系数、一次项系数、常数项均包括前面的符号.
二次函数几种特殊形式的图象和性质
二次函数的图象和性质
函数形式 | 顶点坐标 | 对称轴 | 最值 | 开口、单调性 |
$y = a x ^ {2}$ | $( 0,0 )$ | $y$轴 | $\left. \begin{array} {l} {a > 0 \text {时}} \\ {x = 0 \text {时,} y _ {\text {最小值}} = 0 ;} \\ {a < 0 \text {时}} \\ {x = 0 \text {时},y _ {\text {最大值}} = 0} \end{array} \right.$ | $a>0$时,抛物线开口向; $x$在对称轴侧时,$y$随$x$的增大而增大; $x$在对称轴侧时,$y$随$x$的增大而减小; $a<0$时,抛物线开口向,$x$在对称轴侧时,$y$随$x$的增大而增大; $x$在对称轴侧时,$y$随$x$的增大而减小 |
$y = a x ^ {2} + k$ | $( 0,k )$ | $y$轴 | $\left. \begin{array} {l} {a > 0 \text {时}} \\ {x = 0 \text {时},y _ {\text {最小值}} = k ;} \\ {a < 0 \text {时}} \\ {x = 0 \text {时},y _ {\text {最大值}} = k} \end{array} \right.$ | |
$y = a ( x - h ) ^ {2}$ | $( h,0 )$ | $x=h$ | $\left. \begin{array} {l} {a > 0 \text {时,}} \\ {x = h \text {时},y _ {\text {最小值}} = 0 ;} \\ {a < 0 \text {时},} \\ {x = h \text {时},y _ {\text {最大偵}} = 0} \end{array} \right.$ | |
$y = a ( x - h ) ^ {2} + k$ | $( h,k )$ | $x=h$ | $\left. \begin{array} {l} {a > 0 \text {时}} \\ {x = h \text {时},y _ {\text {最小值}} = k ;} \\ {a < 0 \text {时},} \\ {x = h \text {时},y _ {\text {最大值}} = k} \end{array} \right.$ |
若$y=\left(m^{2}+m\right) x^{m^{2}-2 m-1}-x+3$是关于x的二次函数,则m=.
据二次函数的定义求解即可.
解:由题意,得
m2-2m-1=2,且,m2+m≠0
解得,m=3.