填空题
一元二次方程的定义
等号两边都是，只含有个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程. 例如：$\sqrt{3} x^{2}+x+1=0,\quad 12 x^{2}+7=0$是一元二次方程.
一元二次方程必须同时满足三个条件：、、.
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整式一2是整式方程只含有一个未知数未知数的最高次数是2
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举一反三
当m=时，方程$(m-1) \cdot x^{m^{2}+1}+2 m x+3=0$是关于x的一元二次方程.
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-1
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由题意，得$m²+1=2，∴m²=1，∴m=±1$.
当$m=1时，m-1=0$，原方程不是一元二次方程；
当$m=-1时，m-1≠0$，原方程是一元二次方程.
∴当$m=-1时$，原方程是一元二次方程.
直接开平方法解一元二次方程
根据直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 例如$x ^ {2} = 25$，解得$x = \pm 5$.
一般地，对于方程$x ^ {2} = p$，
$p>0$ | 方程有两个不等的实数根$x_{1}=$，$x_{2}=$ |
$p=0$ | 方程有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=$ |
$p<0$ | 方程 |
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平方根的意义$\sqrt{p}$$-\sqrt{p}$0无实数根
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其他适用直接开平方法的情形
（1）$x ^ {2} - q = p $ $( p + q \geq 0 )$$\stackrel{移项后左右同时开平方降次}→$$x = \pm \sqrt {p + q}$；
（2）$q ( m x + a ) ^ {2} = p $ $( p q \geq0 ， q \neq 0 ， m \neq 0 )$$\stackrel{左右同时除以系数后开平方降次}→$$m x + a = \pm \sqrt {\frac {p} {q}}$；
（3）$( m x + a ) ^ {2} = ( n x + b ) ^ {2} ( m \neq 0 ， n \neq 0 )$$\stackrel{左右同时开平方降次}→$$m x + a = \pm ( n x + b )$
如果方程（x-5）2=m-7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是.
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m≥7
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问题要点
解一元二次方程直接开平方法
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根据偶次方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可.
解：∵(x-5)2=m-7可以用直接开平方求解，
∴m-7≥0，解得：m≥7 .
配方法解一元二次方程
通过把方程配成形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
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完全平方的
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公式法解一元二次方程
当$\Delta \geq 0$时，方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $的求根公式. 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
$\Delta > 0$ | 方程有两个不等的实数根$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$ |
$\Delta = 0$ | 方程有两个相等的实数根 |
$\Delta < 0$ | 方程无实数根 |
利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定的值；
（2）求出$\Delta = b ^ {2} - 4 a c$的值；
（3）若$\Delta \geq 0$，则将$a$，b，c的值代入求出方程的根，若$\Delta < 0$，则方程.
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$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$$a，b，c$求根公式$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$无实数根
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