把 $(-6,-1),\quad(2,3) \quad$ 代入 $y=k_{1} x+b$ 得 $\left\{\begin{array}{l}-6 k_{1}+b=-1 \\ 2 k_{1}+b=3\end{array},\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}k_{1}=\frac{1}{2},\text {则一次函数解析式为} y=\frac{1}{2} x+2 \\ b=2\end{array}\right.$

$\therefore k_{2}>b>k_{1}>0 ;$ 所以A选项的结论正确

当-6＜x＜0或x＞2时，有k₁x+b＞$\frac{k_2}{x}$，所以B选项的结论错误；

当 $y=0$ 时,$,\frac{1}{2} x+2=0,$ 解得 $x=-4,$ 则 $A(-4,0)$

${\text {当} x=0 \text {时}},y=\frac{1}{2} x+2=2,$ 则 $B(0,2)$

$\therefore S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} \times 2 \times 4=4,$ 所以,C选项的结论正确

直线 $y=k_{1} x+b$ 与反比例函数 $y=\frac{k_{2}}{x}$ 的图象的交点坐标为 $(-6,-1),\quad(2,3),$ 所以D选项的结论正确.