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问题要点

公式法解一元二次方程

答案解析

根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式.

解 : $\because 4 y^{2}=12 y+3$

$\therefore 4 y^{2}-12 y-3=0$

$\therefore a=4,b=-12,c=-3$

$\therefore b^{2}-4 a c=192$

$\therefore y=\frac{12 \pm \sqrt{192}}{8}=\frac{3 \pm 2 \sqrt{3}}{2} .$

由题意知方程$x ^ {2} - 3 x - 4 = 0$可化为$( x + 1 ) ( x - 4 ) = 0$，则$x + 1= 0$或$x - 4 = 0$，解得$x _ {1} = - 1,x _ {2} = 4$，故选选项2-.

问题要点

根的判别式

答案解析

先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可.

解 $: \quad \frac{1}{2} x^{2}-(k+5) x+k^{2}+2 k+25=0$,

$\Delta=[-(k+5)]^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times\left(k^{2}+2 k+25\right)=-k^{2}+6 k-25=-(k-3)^{2}-16$,

不论 $k$ 为何值， $-(k-3)^{2}$<0,

即 $\triangle=-(k-3)^{2}-16<0$.

问题要点

由一元二次方程根与系数的关系求出 m 的值后，容易忽视 $\Delta \geq 0$，导致错选选项2-.

答案解析

由一元二次方程根与系数的关系，得 $x _ {1} + x _ {2} = 2 m$，$x _ {1} x _ {2} = m ^ {2} - m - 1$.

因为 $x _ {1} + x _ {2} = 1 - x _ {1} x _ {2}$，所以 $2 m = 1 - ( m ^ {2} - m - 1 )$.

解得 $m _ {1} = 1$，$m _ {2} = - 2$.

又因为 $\Delta = 4 [m ^ {2} - ( m ^ {2} - m - 1 )] \geq 0$，解得 $m \geq - 1$.

综上，m 的值为 1. 故选D.

∵一元二次方程$x ^ {2} - 4 x - 3 = 0$的两根是m、n，∴$m + n = 4,m n = - 3$. 故选选项4-.