读趣百科

垂直于弦的直径

圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条所在的直线都是圆的对称轴.

垂径定理

垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧.

$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② C D \perp A B} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} A M = B M} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$

垂径定理的推论

平分弦（不是）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② A M = B M} \\ {( A B \text {不是直径} )} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} C D \perp A B} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$

由垂径定理以及推论可知：如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”.

分析下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径. 其中正确的是（填序号）.

如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是．

圆的有关概念

弦与直径

连接圆上任意两点间的叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）.

弧、半圆、劣弧、优弧

（1）圆上任意两点间的部分叫做，简称弧.

（2）圆的任意一条直径的两个把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（3）弧分为优弧、半圆和劣弧.

优弧：半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示（如图中$\widehat{A C B}$）.

劣弧：半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示（如图中$\widehat{A B}$）.

等圆与等弧

能够重合的两个圆叫做，相等的两个圆是等圆. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做.

圆周角

圆周角的定义

顶点在上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的角度数的一半. 如图$\angle A B C =\frac {1} {2} \angle A O C$.

圆周角定理的推论

（1）或等弧所对的圆周角相等.

$\hat {A C} = \hat {B D} \Rightarrow \angle A B C = \angle B A D$

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是角；90°的圆周角所对的弦是直径.

AB是直径$\Rightarrow \angle A C B = \angle A D B = 90 ^ {\circ} ; \angle A C B = 90 ^ {\circ} \Rightarrow A B$是直径.

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

圆周角与圆心角的区别

（1）顶点：圆周角的顶点，圆心角的顶点；

（2）个数：一条弧所对的圆心角有个，所对的圆周角有个.