如图，在平面直角坐标系xoy中，A$_1$，A$_2$，B$_1$，B$_2$为椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A$_1$B$_2$与直线B$_1$F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为( )
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答案解析
分析：
解法一：可先直线A$_1$B$_2$的方程为$\frac {x}{-a}$+$\frac {y}{b}$=1，直线B$_1$F的方程为$\frac {x}{c}$+$\frac {y}{-b}$=1，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，x_=$\frac {x}{a}$，y_=$\frac {y}{b}$，椭圆变为单位圆：x+y_=1，F'($\frac {c}{a}$，0)．根据题设条件求出直线B$_1$T方程，直线B$_1$T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．
解答：
解法一：由题意，可得直线A$_1$B$_2$的方程为$\frac {x}{-a}$+$\frac {y}{b}$=1，直线B$_1$F的方程为$\frac {x}{c}$+$\frac {y}{-b}$=1
两直线联立则点T($\frac {2ac}{a-c}$，$\frac {b(a+c)}{(a-c)}$)，则M($\frac {ac}{a-c}$，$\frac {b(a+c)}{2(a-c)}$)，由于此点在椭圆上，故有
$\frac {c}{(a-c)}$+$\frac {(a+c)}{4(a-c)}$=1，整理得3a_-10ac-c_=0
即e_+10e-3=0，解得e=2$\sqrt {7}$-5
故答案为e=2$\sqrt {7}$-5
解法二：对椭圆进行压缩变换，x_=$\frac {x}{a}$，y_=$\frac {y}{b}$，
椭圆变为单位圆：x+y_=1，F'($\frac {c}{a}$，0)．
延长TO交圆O于N，易知直线A$_1$B$_2$斜率为1，TM=MO=ON=1，A$_1$B$_2$=$\sqrt {2}$，
设T(x′，y′)，则TB$_2$=$\sqrt {2}$x_，y′=x′+1，
由割线定理：TB$_2$×TA$_1$=TM×TN，$\sqrt {2}$x_($\sqrt {2}$x+$\sqrt {2}$) =1×3，
x_=$\frac {$\sqrt {7}$-1}{2}$(负值舍去)，y_=$\frac {$\sqrt {7}$+1}{2}$
易知：B$_1$(0，-1)，直线B$_1$T方程：$\frac {y+1}{x}$=$\frac {$\frac {$\sqrt {7}$+1}{2}$+1}{$\frac {$\sqrt {7}$-1}{2}$}$
令y′=0
x_=2$\sqrt {7}$-5，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=$\frac {c}{a}$=2$\sqrt {7}$-5．
故答案：2$\sqrt {7}$-5，所以选B．
点评：
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
