过双曲线$\frac {x}{2}$-y_=1的右焦点,且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B,则|AB|=( )
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答案解析
分析:
由题意可得右焦点坐标,由直线的倾斜角可得斜率,进而可得直线的方程,与曲线方程联立消y可得关于x的方程,由根与系数关系可得x$_1$+x$_2$=4$\sqrt {3}$,x$_1$•x$_2$=8,代入弦长公式|AB|=$\sqrt {}$化简可得答案.
解答:
解:∵双曲线的方程为:$\frac {x}{2}$-y_=1,
∴a=$\sqrt {2}$,b=1,c=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$,
故双曲线的右焦点坐标为($\sqrt {3}$,0)
故直线AB的方程为y=x-$\sqrt {3}$,与$\frac {x}{2}$-y_=1联立,
消掉y并整理可得x-4$\sqrt {3}$x+8=0,(*)
显然△=(-4$\sqrt {3}$)_-4×1×8=16>0,
故方程(*)有两个不等实根x$_1$,x$_2$,
由根与系数关系可得x$_1$+x$_2$=4$\sqrt {3}$,x$_1$•x$_2$=8,
故|AB|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=4$\sqrt {2}$
故答案为:A.
点评:
本题考查双曲线的性质,涉及弦长公式的应用,属中档题.