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解：依题意得，

2816=407 x 6+374;

407=374 x 1+33;

374=33 x 11+11;

33=3 x 11.

由表可知，x=-83, y=12 时，才使等式407x+2816y=11成立。

证明：假设存在整数x,y 使得x2-y2=2002,则（x-y ）(x+y)=2002=2 x 7 x 143;

由右边等式可知x-y和x+y 必为一奇一偶；

不妨设x+y为奇数，则x,y中必有一奇一偶，而x-y不等于偶数，则矛盾。

若x-y=偶数，则x,y必有双奇双偶；而x+y不等于奇数，则与条件矛盾。

由上述可知，不存在整数x,y 使x2-y2=2002

因为(12,45)=3|5, 所以同余式有解 , 而且解的个数为3

又同余式等价于 4x＋5≡0(mod 15), 即 4x＋5 =15 y

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 (10,3)

即定理 4.1 中的 x0=10

因此同余式的 3 个解为

x≡10(mod 45)

x≡ 10＋15(mod 45) ≡25(mod 45)

x≡10+30(mod 45) ≡40(mod 45)