已知二次函数 $y = x ^ {2} - 3 x + 1$，当 $x \geq 6$ 时，它的最小值为.
在讨论函数的最值时，一定注意函数自变量的取值范围以及函数在这个取值范围内的增减性.
因为 $y = x ^ {2} - 3 x + 1 = ( x - \frac {3} {2} ) ^ {2} - \frac {5} {4}$，所以当 $x \geq \frac {3} {2}$ 时，y 随 x 的增大而增大. 又因为 $x \geq 6$，所以 y 存在最小值，即当 x＝6 时，y 取得最小值，最小值为 $6 ^ {2} - 3 \times 6 + 1 = 19$.
$y=-2 x^{2}+x+3$化为顶点式为;
化为交点式为.
顶点式和交点式
解：$y=-2 x^{2}+x+3$化为顶点式为： $y=-2 \left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{25}{8}$ ;
化为交点式为： $y=(x+1) (-2 x+3)$
二次函数$y=x^{2}-2x+1$在$3≤x≤5$范围内的最小值为.
二次函数给定范围求最值
将二次函数$y=x^{2}-2x+1$化成顶点式，即可得到最小值．
解：$y=x^{2}-2x+1=(x+1)^{2}$，
所以，该二次函数图象的对称轴是x=1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y最小=$（3-1)^{2}=4$．
若抛物线 $y = a x ^ {2} + 2 x - 1$ 与 x 轴有交点，则 a 的取值范围是.
若题干未说明“抛物线”，不要忽略 a＝0 时 $y = 2 x - 1$ 与 x 轴也有 1 个交点. 同样，说明“抛物线”，则不要忽略二次项系数 $a \neq 0$.
∵ 抛物线 $y = a x ^ {2} + 2 x - 1$ 与 x 轴有交点，∴ $b ^ {2} - 4 a c \geq 0$ 且 $a \neq 0$，即 $2 ^ {2} - 4 a \cdot ( - 1 ) \geq 0$ 且 $a \neq 0$，∴ $a \geq - 1$ 且 $a \neq 0$.
关于原点对称的点的坐标
如图，点$P ( x ， y )$关于$x$轴对称的点为$P_{1}$，关于$y$轴对称的点为$P_{2}$，关于原点对称的点为$P_{3}$，关于直线$y=x$对称的点为$P_{4}$，关于直线$y=-x$对称的点为$P_{5}$.
中点坐标公式
若点$P _ {1} ( x _ {1} ， y _ {1} ) ， P _ {2} ( x _ {2} ， y _ {2} )$关于点$P ( x ， y )$对称，则$x = \frac {x _ {1} + x _ {2}} {2}$，$y = \frac {y _ {1} + y _ {2}} {2}$.
中心对称的定义及性质
中心对称的定义
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点或.
这个点叫做（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的.
中心对称的性质
（1）中心对称的两个图形是图形；
（2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被其平分.
