若抛物线 $y = a x ^ {2} + 2 x - 1$ 与 x 轴有交点，则 a 的取值范围是.
若题干未说明“抛物线”，不要忽略 a＝0 时 $y = 2 x - 1$ 与 x 轴也有 1 个交点. 同样，说明“抛物线”，则不要忽略二次项系数 $a \neq 0$.
∵ 抛物线 $y = a x ^ {2} + 2 x - 1$ 与 x 轴有交点，∴ $b ^ {2} - 4 a c \geq 0$ 且 $a \neq 0$，即 $2 ^ {2} - 4 a \cdot ( - 1 ) \geq 0$ 且 $a \neq 0$，∴ $a \geq - 1$ 且 $a \neq 0$.
关于原点对称的点的坐标
如图，点$P ( x ， y )$关于$x$轴对称的点为$P_{1}$，关于$y$轴对称的点为$P_{2}$，关于原点对称的点为$P_{3}$，关于直线$y=x$对称的点为$P_{4}$，关于直线$y=-x$对称的点为$P_{5}$.
中点坐标公式
若点$P _ {1} ( x _ {1} ， y _ {1} ) ， P _ {2} ( x _ {2} ， y _ {2} )$关于点$P ( x ， y )$对称，则$x = \frac {x _ {1} + x _ {2}} {2}$，$y = \frac {y _ {1} + y _ {2}} {2}$.
中心对称的定义及性质
中心对称的定义
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点或.
这个点叫做（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的.
中心对称的性质
（1）中心对称的两个图形是图形；
（2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被其平分.
在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的是.
解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中正方形、线段和平行四边形都是中心对称图形，
只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形，
故答案为：等边三角形．
垂直于弦的直径
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，任何一条所在的直线都是圆的对称轴.
垂径定理
垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧.
$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② C D \perp A B} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} A M = B M} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$
垂径定理的推论
平分弦（不是）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② A M = B M} \\ {( A B \text {不是直径} )} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} C D \perp A B} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$
由垂径定理以及推论可知：如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”.
分析下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径. 其中正确的是（填序号）.
垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，括号内的“不是直径”这个限制条件切勿忽视. 对垂径定理及其推论更全面的解读是由下列五个条件中的两个，一定能推出其余三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
垂径定理是“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，故①正确；垂径定理的推论是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，要注意：任意两条直径都互相平分，但未必互相垂直，只有平分不是直径的弦的直径才ー定垂直于弦，故②错误；平分弦所对的一条弧的直径一定平分另一条弧，这里的“弦”可以是直径，故③错误，④正确.
