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圆的定义及表示方法

定义

（1）描述性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做，线段OA叫做.

（2）集合性定义：

将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

以点O为圆心的圆，记作“”，读作“圆O”. 确定一个圆需要两个要素$\left\{\begin{array} {l} {\text {圆心:确定圆的位置,}} \\ {\text {半径 :确定圆的大小.}} \end{array} \right.$

圆的特性

（1）圆上各点到圆心O的距离都等于；

（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；

（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是.

圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条所在的直线都是圆的对称轴.

垂径定理

垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧.

$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② C D \perp A B} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} A M = B M} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$

垂径定理的推论

平分弦（不是）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② A M = B M} \\ {( A B \text {不是直径} )} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} C D \perp A B} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$

由垂径定理以及推论可知：如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”.

圆周角

圆周角的定义

顶点在上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的角度数的一半. 如图$\angle A B C =\frac {1} {2} \angle A O C$.

圆周角与圆心角的区别

（1）顶点：圆周角的顶点，圆心角的顶点；

（2）个数：一条弧所对的圆心角有个，所对的圆周角有个.

若圆的一条弦把圆分成度数的比为$1:3$的两条弧，则该弦所对的圆周角等于 ．

或等弧所对的圆周角相等.

$\hat {A C} = \hat {B D} \Rightarrow \angle A B C = \angle B A D$