如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．
分析：
根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．
解答：
解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0，2.5)，B(2，2.5)，C(0.5，1)
设函数解析式为y=ax+bx+c
把A、B、C三点分别代入得出c=2.5
同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1
解之得a=2，b=-4，c=2.5．
∴y=2x-4x+2.5=2(x-1)_+0.5．
∵2＞0
∴当x=1时，y=0.5米．
∴故答案为：0.5米．
点评：
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件．若使利润最大，每件的售价应为元．
分析：
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解答：
设最大利润为w元，
则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)_+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
点评：
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多．
分析：
根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=-$\frac {b}{2a}$时，y最大．
解答：
解：假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有(x+100)棵橘子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，
∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，
则平均每棵树结(600-5x)个橘子．
∵果园橘子的总产量为y，
∴则y=(x+100)(600-5x)
=-5x+100x+60000，
∴当x=-$\frac {b}{2a}$=-$\frac {100}{2×(-5)}$=10(棵)时，橘子总个数最多．
故答案为：10．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．
出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x=元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
分析：
先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
解答：
解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，
∴y=(8-x)x，即y=-x+8x，
∴当x=-$\frac {b}{2a}$=-$\frac {8}{-2}$=4时，y取得最大值．
故答案为：4．
点评：
本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．
某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t_+150t+10表示．经过s，火箭达到它的最高点．
分析：
由题意得：当火箭到达最高点时，即h达到最大值，本题可运用完全平方式求得最大值．
解答：
解：当火箭到达最高点时，即h达到最大值．
h=-5t_+150t+10
=-5(t-15)_+1135．
∵-5＜0
∴t=15时，h取得最大值，即火箭达到最高点．
故应填15．
点评：
本题考查的是二次函数最大值的求法，这一题可用完全平方式求得．
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植或株(按从小到大顺序填写答案)．
分析：
根据已知假设每盆花苗(原来花盆中有3株)增加a(a为偶数)株，盈利为y元，则每盆花苗有(a+3)株，得出平均单株盈利为(3-0.5×$\frac {a}{2}$)元，由题意得y=(a+3)(3-0.5×$\frac {a}{2}$)，根据二次函数的性质即可求得．
解答：
解：设每盆花苗(假设原来花盆中有3株)增加a(a为偶数)株，盈利为y元，
则根据题意得：y=(3-0.5×$\frac {a}{2}$)(a+3)
=-$\frac {1}{4}$(a-$\frac {9}{2}$)_+$\frac {63}{16}$，
∵a为偶数，
∴a=4，
∵当a=2时，y=7.5＜13
当a=4时，y=(3-0.5×$\frac {4}{2}$)×(4+3)=14＞13，
当a=6时，y=(3-0.5×$\frac {6}{2}$)×(6+3)=13.5＞13，
∴每盆植7株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植7或9株．
故答案为7、7或9．
点评：
此题考查了二次函数的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
