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分析：

(1)一元二次方程有两个不相等的实数根，则k-3≠0，△＞0，公共部分就是k的取值范围．

(2)通过(1)中k的取值范围确定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以．

解答：

解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴$\left\{\begin{matrix}(-3)_-4×2(k-3)>0. \ k-3≠0. \ \end{matrix}\right.$

解得，k＜$\frac {33}{8}$且k≠3．

(2)k的正整数值为1、2、4

如果k=1，原方程为-2x-3x+2=0．

解得x$_1$=-2，x$_2$=$\frac {1}{2}$，不符合题意，舍去．

如果k=2，原方程为-x-3x+2=0，

解得x$_1$=$\frac {-3+$\sqrt {17}$}{2}$，x$_2$=$\frac {-3-$\sqrt {17}$}{2}$，不符合题意，舍去．

如果k=4，原方程为x-3x+2=0，解得x$_1$=1，x$_2$=2，符合题意．

∴k=4．

点评：

这道题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根与△=b_-4ac的关系是解答此题的关键．

分析：

先计算判别式的值得到△=(m+2)_-4m×2=(m-2)_，再根据非负数的值得到△≥0，然后利用因式分解法解方程得到x$_1$=1，x$_2$=$\frac {2}{m}$，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．

解答：

解：∵m≠0，

△=(m+2)_-4m×2

=m_-4m+4

=(m-2)_，

而(m-2)_≥0，即△≥0，

∴方程总有两个实数根；



(x-1)(mx-2)=0，

x-1=0或mx-2=0，

∴x$_1$=1，x$_2$=$\frac {2}{m}$，

当m为正整数1或2时，x$_2$为整数，

即方程的两个实数根都是整数，

∴正整数m的值为1或2．

点评：

本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b_-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

分析：

(1)利用求根根式x=$\frac {-b±$\sqrt {}$}{2a}$解方程；

(2)利用(1)中x的值来确定m的值．

解答：

解：(1)根据题意，得m≠1．

∵a=m-1，b=-2m，c=m+1，

△=(-2m)_-4(m-1)(m+1)=4，

则x$_1$=$\frac {2m+2}{2(m-1)}$=$\frac {m+1}{m-1}$，

x$_2$=1；



(2)由(1)知，x$_1$=$\frac {m+1}{m-1}$=1+$\frac {2}{m-1}$，

∵方程的两个根都为正整数，

∴$\frac {2}{m-1}$是正整数，

∴m-1=1或m-1=2，

解得，m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．

点评：

本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．

分析：

(1)先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

(2)先利用公式法求出方程的解为x$_1$=k，x$_2$=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

解答：

∵△=(2k+1)_-4(k_+k)=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

∴方程的解为x=$\frac {2k+1±$\sqrt {1}$}{2}$，即x$_1$=k，x$_2$=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

所以k的值为5或4．

点评：

本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b_-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．

分析：

(1)根据方程有两个相等的实数根可知△≥0，k+2≠0，求出k的值即可；

(2)根据△＞0时方程有两个相等的实数根求出k的取值范围，在k的取值范围内找一个合适的整数，求出△的值，再利用求根公式求出方程的根即可．

解答：

解：(1)∵关于x的方程(k+2)x-(2k+1)x+k=0．有两个实数根，

∴△=[-(2k+1)]_-4k(k+2)≥0且k≠-2，

∴k≤$\frac {1}{4}$且k≠-2；



(2)∵由(1)可知k≤$\frac {1}{4}$且k≠-2时方程有两个实数根，

∴设k=0，原方程为2x-x=0，解得x=0或$\frac {1}{2}$．

故答案为：k≤$\frac {1}{4}$且k≠-2，x=0或$\frac {1}{2}$．

点评：

本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解答此题的关键．