△ABC中,AB=4,BC=3,∠BAC=30°,则△ABC的面积为( )
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答案解析
分析:
分两种情况:过点B或C作AC或AB上的高,由勾股定理可得出三角形的底和高,再求面积即可.
解答:
解:当∠B为钝角时,如图1,
过点B作BD⊥AC,
∵∠BAC=30°,
∴BD=$\frac {1}{2}$AB,
∵AB=4,
∴BD=2,
∴AD=2$\sqrt {3}$,
∵BC=3,
∴CD=$\sqrt {5}$,
∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$AC•BD=$\frac {1}{2}$×(2$\sqrt {3}$+$\sqrt {5}$)×2=2$\sqrt {3}$+$\sqrt {5}$;
当∠C为钝角时,如图2,
过点B作BD⊥AC,交AC延长线于点D,
∵∠BAC=30°,
∴BD=$\frac {1}{2}$AB,
∵AB=4,
∴BD=2,
∵BC=3,
∴CD=$\sqrt {5}$,
∴AD=2$\sqrt {3}$,
∴AC=2$\sqrt {3}$-$\sqrt {5}$,
∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$AC•BD=$\frac {1}{2}$×(2$\sqrt {3}$-$\sqrt {5}$)×2=2$\sqrt {3}$-$\sqrt {5}$.
点评:
本题考查了解直角三角形,还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质,30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半.