直线y=kx与双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),且该双曲线与直线y=$\frac {1}{2}$x-$\frac {3}{2}$相交所得弦长为$\frac {4$\sqrt {15}$}{3}$,则该双曲线方程为( )
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答案解析
分析:
直线y=kx与双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),可得$\frac {b}{a}$=1.设双曲线的方程为x-y_=m.与直线方程联立,利用弦长公式即可得出m.
解答:
解:∵直线y=kx与双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),
∴$\frac {b}{a}$=1.
设双曲线的方程为x-y_=m.
联立$\left\{\begin{matrix}x-2y-3=0 \ x-y_=m \ \end{matrix}\right.$,化为3y+12y+9-m=0.
∵直线与双曲线有两个交点,∴△=12_-12(9-m)>0,解得m>-3.
∴y$_1$+y$_2$=-4,y$_1$y$_2$=3-$\frac {m}{3}$.
∴$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {4$\sqrt {15}$}{3}$,
化为m=1.满足△>0.
因此双曲线的方程为:x-y_=1.
故答案为:x-y_=1,所以选D.
点评:
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.