已知圆C:(x-a)_+(y-a)_=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积最大时,此时实数a的值为( )
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答案解析
分析:
求出圆的圆心坐标与半径,利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积,然后求出最大值即可.
解答:
解:圆C:(x-a)_+(y-a)_=1(a>0)的圆心(a,a)半径为1,
圆心到直线的距离d=$\frac {2a}{$\sqrt {10}$}$,半弦长为:$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {}$}{$\sqrt {10}$}$,
∴△CPQ的面积S=$\frac {2a}{$\sqrt {10}$}$•$\frac {$\sqrt {}$}{$\sqrt {10}$}$=$\frac {$\sqrt {}$}{5}$=$\frac {$\sqrt {}$}{5}$,
当a_=$\frac {10}{8}$时10a_-4a_取得最大值,最大值为:10×$\frac {10}{8}$-4×($\frac {10}{8}$)_,
∴△CPQ的面积S的最大值为:$\frac {$\sqrt {}$}{5}$=$\frac {1}{2}$.
此时a=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$
故答案为:$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$,选D.
点评:
本题考查直线与圆的位置关系的应用,三角形面积的最值的求法,点到直线的距离公式的应用等知识,考查分析问题解决问题的能力.