分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a、b的值，代入计算可得．

解：由$x﹣a＞2$，得：$x＞a+2$，

由$b﹣2x＞0$，得：$x<\frac{b}{2}$，

∵解集为$﹣1＜x＜1$，

∴$a+2＝﹣1，\frac{b}{2}=1$，

解得$a＝﹣3，b＝2$，

则$（a+b）^{2020}＝（﹣3+2）^{2020}＝（﹣1）^{2020}＝1$，

故选：A．