如图,某小岛受到了污染,污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=30°,∠ACD=60°,则直径AD=米.(结果精确到1米)
(参考数据:$\sqrt {}$≈1.414,$\sqrt {}$≈1.732)
分析:
根据假设CD=x,AC=2x,得出AD=$\sqrt {}$x,再利用解直角三角形求出x的值,进而得出AD的长度.
解答:
解:∵∠ABD=30°,∠ACD=60°,
∴假设CD=x,AC=2x,
∴AD=$\sqrt {}$x,
tanB=$\frac {AD}{BC+CD}$=$\sqrt {}$x300+x,
∴$\sqrt {}$3=$\sqrt {}$x300+x,
解得:x=150,
∴AD=$\sqrt {}$x=$\sqrt {}$×150≈260米.
故答案为:260米.
点评:
此题主要考查了解直角三角形的应用,根据已知假设出CD=x,AC=2x,从而表示出AD,进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键.
平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示.量得∠A为54°,斜边AB的长为2.1m,BC边上露出部分的长为0.9m.则铁板BC边被掩埋部分CD的长度为m.(结果精确到0.1m)
【参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38】
分析:
首先根据三角函数求得BC的长,然后根据CD=BC-BD即可求解.
解答:
解:在直角三角形中,sinA=$\frac {BC}{AB}$,
则BC=AB•sinA=2.1sin54°≈2.1×0.81=1.701,
则CD=BC-BD=1.701-0.9,
=0.801≈0.8m.
点评:
本题主要考查了解直角三角形的计算,正确利用三角函数解得BC的长是解题关键.
周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的
眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:$\sqrt {2}$≈1.414,$\sqrt {3}$≈1.732)( )
分析:
由已知设塔高为x米,则由已知可得到如下关系,$\frac {x-1.6+0.1}{x-1.6+0.1+30}$=tan30°,从而求出塔高.
解答:
解:已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°,A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,
所以设塔高为x米则得:
$\frac {x-1.6+0.1}{x-1.6+0.1+30}$=tan30°=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$,
解得:x≈42.48,
即塔高约为42.48米.
故选:D.
点评:
此题考查的是解直角三角形的应用,关键是由已知得等腰直角三角形,根据直角三角函数列出方程求解.
某校课外活动小组,在距离湖面7米高的观测台A处,看湖面上空一热气球P的仰角为37°,看P在湖中的倒影P′的俯角为53°(P′为P关于湖而的对称点).热气球P距湖面得高度PC约为米.
注:sin37°≈$\frac {3}{5}$,cos37°≈$\frac {4}{5}$,tan37°≈$\frac {3}{4}$,sin53°≈$\frac {4}{5}$,cos53°≈$\frac {3}{5}$,tan53°≈$\frac {4}{3}$米.
分析:
过点A作AD⊥PP′,垂足为D,构造矩形ABCD和直角三角形,根据三角函数的定义求出AD的长,根据AD=AD,列出方程解答即可.
解答:
解:过点A作AD⊥PP′,垂足为D,则有CD=AB=7米,
设PC为x米,则P′C=x米,PD=(x-7)米,P′D=(x+7)米,
在Rt△PDA中,AD=$\frac {PD}{tan37°}$≈$\frac {4}{3}$(x-7),
在Rt△P′DA中,AD=$\frac {P′D}{tan53°}$≈$\frac {3}{4}$(x+7),
∴$\frac {4}{3}$(x-7)=$\frac {3}{4}$(x+7),
解得:x=25.
答:热气球P距湖面的高度PC约为25米.
点评:
此题考查了解直角三角形的应用---仰角俯角问题,构造直角三角形是解题的关键.
如图,在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°,向高楼前进60米到C点,又测得仰角为45°,则该高楼的高度为{_ _}米.
分析:
由于AB是Rt△ABD和Rt△ABC的公共直角边,可在Rt△ABC中,根据∠ACB的正切值,用AB表示出BC的长;同理可在Rt△ABD中,根据∠D的度数,用AB表示出BD的长;根据CD=BD-BC,即可求得AB的长.
解答:
解:Rt△ABC中,∠ACB=45°,
∴BC=AB;
Rt△ABD中,∠ADB=30°,
∴BD=AB÷tan30°=$\sqrt {3}$AB,
∴DC=BD-BC=($\sqrt {3}$-1)AB=60米.
∴AB=$\frac {60}{$\sqrt {3}$-1}$=30($\sqrt {3}$+1)米,
故选C.
点评:
此题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用,解题时首先正确理解仰角的定义,然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题.当两个直角三角形有公共边时,利用这条公共边进行求解是解此类题的常用方法.