《求星球质量的几种方法》求星球质量的几种方法

1多选题

(多选)已知引力常量G和以下各组数据，可以计算出月球的质量的是（　　）

人造卫星绕地球运行的周期T及卫星离地球中心的距离r

人造卫星绕月球运行的周期T及卫星离月球中心的距离r

人造卫星在月球附近绕行时的速度v和角速度ω

若不考虑月球的自转，已知月球的半径R及月球表面的重力加速度g

题目答案

BCD

答案解析

分析：

地球、月球、人造卫星等做匀速圆周运动，它们受到的万有引力充当向心力，用它们的运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律列式求中心天体的质量，然后由选项条件判断正确的答案．

解答：

解：A、人造卫星绕地球运动的周期和卫星离地球中心的距离，根据万有引力提供向心力：G$\frac {Mm}{r}$=m$\frac {4π}{T}$r，其中m为卫星质量，在等式中消去，只能求出地球的质量M．也就是说只能求出中心体的质量．故A错误．B、根据G$\frac {Mm}{r}$=m$\frac {4π}{T}$r，得M=$\frac {4π_r}{GT}$，已知人造卫星绕月球运行的周期T及卫星离月球中心的距离r，能求出月球的质量，故B正确．C、人造地球卫星在月球附近绕行时，轨道半径近似等于月球的半径，由G$\frac {Mm}{R}$=m$\frac {v}{R}$，则月球的质量 M=$\frac {Rv}{G}$；又 R=$\frac {v}{ω}$，可得：M=$\frac {v}{Gω}$，可以求出月球的质量，故C正确．D、根据重力等于万有引力，得：G$\frac {Mm}{R}$=mg，得月球的质量M=$\frac {gR}{G}$，由于月球的半径R已知，所以能求出月球的质量．故D正确．故选：BCD

点评：

解答万有引力定律在天体运动中的应用时要明确天体做匀速圆周运动，其受到的万有引力提供向心力，会用线速度、角速度、周期表示向心力，同时注意公式间的化简．

2单选题

为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h$_1$和h$_2$的圆轨道上运动时，周期分别为T$_1$和T$_2$．火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G．仅利用以上数据，可以计算出（　　）

火星的密度和火星表面的重力加速度

火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

火星的半径和“萤火一号”的质量

火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

题目答案

答案解析

分析：

根据万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，列出等式．

根据密度公式求出密度．

运用万有引力等于重力表示出火星表面的重力加速度．

解答：

解：A、由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有：

G$\frac {Mm}{(R+h$_1$)}$=m($\frac {2π}{T$_1$}$)_(R+h$_1$)；G$\frac {Mm}{(R+h$_2$)}$=m($\frac {2π}{T$_2$}$)_(R+h$_2$)，

可求得火星的质量M=$\frac {4π_(R+h$_1$)}{G$_1$}$=$\frac {4π_(R+h$_2$)}{G$_2$}$和火星的半径R=$\frac {$\sqrt {}$-h$_1$}{1-$\sqrt {}$}$，

根据密度公式得：ρ=$\frac {M}{V}$=$\frac {M}{$\frac {4}{3}$πR}$=$\frac {3M}{4πR}$．

在火星表面的物体有G$\frac {Mm}{R}$=mg，

可得火星表面的重力加速度g=$\frac {GM}{R}$，故A正确．

B、从A选项分析知道可以求出火星的质量，由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力，故B错误．

C、从A选项分析知道可以求出火星的质半径，不能求出“萤火一号”的质量，故C错误．

D、从A选项分析知道可以求出火星的表面的重力加速度，由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力，故D错误．

故选A．

点评：

本题以“萤火一号”火星探测器为背景材料，体现了现代航天技术始终是高考的一个热点．主要考查对万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动等知识点的综合运用能力．

向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

要求解一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，再根据已知量进行判断．

3单选题

天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期．由此可推算出（　　）

行星的质量

行星的半径

恒星的质量

恒星的半径

题目答案

答案解析

分析：

根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_进行分析．

解答：

解：行星绕恒星做圆周运动，根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_，知道轨道半径和周期，可以求出恒星的质量，行星是环绕天体，在分析时质量约去，不可能求出行星的质量．故C正确，A、B、D错误．

故选C．

点评：

解决本题的关键掌握万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_．

4多选题

(多选)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T．仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（　　）

月球的质量

地球的质量

地球的半径

月球绕地球运行速度的大小

题目答案

答案解析

分析：

研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心天体的质量

根据圆周运动知识求出月球绕地球运行速度的大小．

解答：

解：研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式

$\frac {GMm}{R}$=$\frac {m•4π_R}{T}$

M=$\frac {4π_R}{GT}$，所以可以估算出地球的质量，不能估算出月球的质量，故A错误，B正确．

C、由于不知道地球表面的重力加速度，也不知道近地卫星的线速度或者周期，所以无法求出地球的半径，故C错误．

D、研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据圆周运动知识得：

月球绕地球运行速度的大小v=$\frac {2πR}{T}$，故D正确．

故选BD．

点评：

向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

5多选题

(多选)万有引力常量G已知，并利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量（　　）

已知地球的半径R和地面的重力加速度g

已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和周期T

已知地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r 和公转周期T

已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T

题目答案

ABD

答案解析

分析：

做圆周运动，由万有引力提供向心力，分别有线速度，角速度，及周期来表示向心力，得出天体质量的不同的表达式．

解答：

解：A、根据万有引力等于重力，

$\frac {GMm}{R}$=mg

M=$\frac {gR}{G}$，故A正确；

B、卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得

$\frac {GMm}{r}$=$\frac {m•4π_r}{T}$

M=$\frac {4π_ r}{GT}$，故B正确；

C、已知地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r 和公转周期T，只能测算出中心天体太阳的质量，而地球是做圆周运动的天体，在等式中地球质量消去，故C错误；

D、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，根据圆周运动的公式得轨道半径r=$\frac {vT}{2π}$，

由万有引力提供向心力得$\frac {GMm}{r}$=$\frac {m•4π_r}{T}$，

解得：M=$\frac {v_T}{2πG}$

所以可求出地球的质量，故D正确

故选：ABD．

点评：

考查天体质量的测量方法，明确由万有引力提供向心力，分别有线速度，角速度，及周期来表示向心力，得出天体质量的不同的表达式．

6单选题

科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t，若已知万有引力常量为G，月球绕地球运动(可视为匀速圆周运动)的周期为T，光速为c，地球到月球的距离远大于它们的半径．则可求出地球的质量为（　　）

$\frac {π_c_t}{2GT}$

$\frac {π_c_t_}{4GT}$

$\frac {4π_c_t}{GT}$

$\frac {16π_c_t}{GT}$

题目答案

答案解析

分析：

利用光速和测得激光往返时间求出地球到月球的距离．

研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．

解答：

解：测得激光往返时间为t，光速为c，所以地球到月球的距离L=$\frac {ct}{2}$ ①，

研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：

$\frac {GM m}{r}$=m$\frac {4π_r}{T}$ ②

由于地球到月球的距离远大于它们的半径，我们可以认为轨道半径r等于地球到月球的距离L，

根据①②得：M=$\frac {π_c_t}{2GT}$

故选A．

点评：

能根据激光的时间和速度得出地球到月球的距离．

向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

7多选题

(多选)已知引力常量G和以下各组数据，能够计算出地球质量的是（　　）

地球绕太阳运行的周期和地球与太阳球心间的距离

月球绕地球运行的周期和月球与地球球心间的距离

人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期

已知地球的半径与地面的重力加速度

题目答案

BCD

答案解析

分析：

解答：

解：A、地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，

由万有引力定律结合牛顿第二定律得：$\frac {GMm}{r}$=$\frac {4π_mr}{T}$，

∴太阳的质量M=$\frac {4π_r}{GT}$，

因此，不能求出地球的质量，故选项A错误．

B、月球绕地球做匀速圆周运动，它受到地球的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，

由万有引力定律结合牛顿第二定律得：$\frac {GM′m}{r}$=$\frac {m4π_r}{T}$，

∴地球的质量M′=$\frac {4π_r}{GT}$，因此，可求出地球的质量，故选项B正确．

C、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它受到地球的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，

由万有引力定律结合牛顿第二定律得：$\frac {GM′m}{r}$=$\frac {m4π_r}{T}$，

又因T=$\frac {2πr}{v}$∴地球的质量M′=$\frac {Tv}{2πG}$，因此，可求出地球的质量，故选项C正确．

D、地球表面的物体受到的地球的重力等于万有引力，即mg=$\frac {GM′m}{R}$，因此，可求出地球的质量M′=$\frac {gR}{G}$，故选项D正确．

故选：BCD．

点评：

8单选题

为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g地球绕太阳公转的周期为T．则太阳的质量为（　　）

$\frac {4π_r}{T_R_g}$

$\frac {T_R_g}{4π_mr}$

$\frac {4π_mgr}{r_T}$

$\frac {4π_mr}{T_R_g}$

题目答案

答案解析

分析：

地球绕太阳公转，知道了轨道半径和公转周期利用万有引力提供向心力可列出等式．

根据地球表面的万有引力等于重力列出等式，联立可求解．

解答：

解：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：

$\frac {GMm}{r}$=$\frac {mv}{r}$

根据地球表面的万有引力等于重力得：

对地球表面物体m′有$\frac {Gmm′}{r}$=m′g

两式联立得M=$\frac {4π_mr}{T_R_g}$

故选D．

点评：

解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力．

9单选题

如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知万有引力常量为G，则月球的质量是(　　)

$\frac {l}{Gθ_t}$

$\frac {θ}{Gl_t}$

$\frac {l}{Gθt}$

$\frac {t}{Gθl}$

题目答案

答案解析

分析：

根据线速度和角速度的定义公式求解线速度和角速度，根据线速度和角速度的关系公式v=ωr求解轨道半径，然后根据万有引力提供向心力列式求解行星的质量．

解答：

解：线速度为：v=$\frac {l}{t}$…①

角速度为：ω=$\frac {θ}{t}$…②

根据线速度和角速度的关系公式，有：v=ωr…③

卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：G$\frac {mM}{r}$=mrω_=mvω…④

联立解得：M=$\frac {l}{Gθt}$

故选：C．

点评：

本题关键抓住万有引力提供向心力，然后根据牛顿第二定律列式求解，不难，注意掌握线速度与角速度的定义．

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