《动能定理解决竖直面内变速圆周运动问题》动能定理解决竖直面内变速圆周运动问题

1多选题

(多选)如图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动，两球先后以相同的速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法不正确的是(　　)

当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg

当v=$\sqrt {5gR}$时，小球b在轨道最高点对轨道无压力

速度v只至少为2$\sqrt {gR}$，才能使两球在管内做圆周运动

只要v≥$\sqrt {5gR}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg

题目答案

答案解析

分析：

小球在圆环的内侧运动，相当于圆周运动中的杆的模型，此时在最高的速度是可以为零的，在整个运动的过程中小球的机械能守恒，可以求得小球到达最低端是的速度和需要的向心力的大小．

解答：

解：A、B、C、由于管中没有摩擦力的作用，所以球的机械能守恒，当小球b在最高点对轨道无压力，即只有重力做为向心力，

所以mg=m$\frac {v_b}{R}$，所以在最高点时b球的速度的大小为$\sqrt {gR}$，

所以C错误；

从最高点到最低点，由机械能守恒可得，mg•2R+$\frac {1}{2}$mv_b_=$\frac {1}{2}$mv_，

对于a球，在最低点是，由向心力的公式可得 F-mg=m$\frac {v}{R}$，

所以：v=$\sqrt {5gR}$

F-mg=5mg，

所以此时的向心力的大小为5mg，

所以小球a比小球b所需向心力大4mg，故A错误，B正确，C错误；

D、最高点时F$_1$=m$\frac {v$_1$}{R}$-mg，

在最低点时，F$_2$=m$\frac {v$_2$}{R}$+mg，

由机械能守恒有$\frac {1}{2}$mv$_1$_+mg2R=$\frac {1}{2}$mv$_1$_，

所以F$_2$-F$_1$=6mg．所以只要v≥$\sqrt {5gR}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg．故D正确．

故选：AC．

点评：

该题考查竖直平面内的圆周运动，内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，与绳的模型一定要区分开．

2多选题

(多选)固定在竖直平面内的光滑细圆管，管道半径为R．若沿如图所示的两条虚线截去轨道的四分之一，管内有一个直径略小于管径的小球在运动，且恰能从一个截口抛出，从另一个截口无碰撞的进入继续做圆周运动，空气阻力忽略不计．则小球在运动过程中(　　)

小球的运动轨迹为圆

每次飞越无管区域时的最高点在过圆管中心的竖直线上

每次进入圆管时的水平分速度和竖直分速度大小相等

每次飞跃无管区的时间为$\sqrt {}$

题目答案

BCD

答案解析

分析：

小球离开管口后做斜抛运动，将小球的运动分解为水平方向和竖直方向上，根据等时性求出初速度的大小，从而根据竖直方向上的运动规律求出每次飞越无管区域的时间．

解答：

解：A、小球离开管口后，仅受重力，做斜抛运动，小球运动的轨迹不是圆，故A错误．

B、小球做斜抛运动，最终从另一截口无碰撞进入，跟对称性知，每次飞越无管区域的最高点在过圆管中心的竖直线上．由几何关系知，小球离开管口时速度与水平方向的夹角为45度，由对称性知，进入管口时速度与水平方向的夹角也为45度，根据平行四边形定则得，每次进入圆管时水平分速度与竖直分速度相等，故B、C正确．

D、设小球离开管口的速度为v_0，则离开管口时竖直分速度$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$v_0，离开管口时水平分速度v_x=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$v_0，

小球在空中运动的时间t=$\frac {2v_y}{g}$=$\frac {$\sqrt {2}$v}{g}$，在水平方向上有：$\sqrt {2}$R=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$v_0t，解得v_0=$\sqrt {}$，t=$\sqrt {}$，故D正确．

故选：BCD．

点评：

解决本题的关键掌握处理斜抛运动的方法，知道竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，抓住等时性，结合运动学公式灵活求解．

3多选题

(多选)如图所示，半径r=0.8m的光滑圆轨道被竖直固定在水平地面上，圆轨道最低处有一质量为0.4kg的小球(小球的半径比r小很多)．现给小球一个水平向右的初速度v_0，下列关于在小球的运动过程中说法正确的是(g取10m/s_)(　　)

v_0≤4m/s可以使小球不脱离轨道

v_0≥4$\sqrt {2}$m/s可以使小球不脱离轨道

设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最低点与最高点对轨道的压力之差为24N

设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最低点与最高点对轨道的压力之差为20N

题目答案

答案解析

分析：

要使小球不脱离轨道运动，有两种情况：一是能越过最高点．二是不越过四分之一圆周．小球经过最高点和最低点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律、牛顿第三定律和机械能守恒结合求出压力之差．

解答：

解：A、B最高点的临界情况：重力恰好提供向心力，则有：mg=m$\frac {v}{r}$，解得：v=$\sqrt {gr}$

根据动能定理得，-mg•2r=$\frac {1}{2}$mv_-$\frac {1}{2}$mv_0

解得：v_0=$\sqrt {}$=$\sqrt {5gr}$=$\sqrt {5×10×0.8}$=2$\sqrt {10}$m/s．

若不通过四分之一圆周，根据动能定理有：

-mgr=0-$\frac {1}{2}$mv_0

解得：v_0=$\sqrt {2gr}$=$\sqrt {2×10×0.8}$m/s=4m/s

故要使小球不脱离轨道v_0≤4m/s，或v_0≥5m/s

所以v_0≥5m/s或v≥2$\sqrt {10}$m/s，故A正确，B错误．

C、D设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最高点时，

由牛顿第二定律得：mg+N$_1$=m$\frac {$_1$}{r}$；①

在最低点：N$_2$-mg=m$\frac {$_2$}{r}$；②

从最高点到最低点过程，根据机械能守恒定律得：$\frac {1}{2}$m$_1$+2mgr=$\frac {1}{2}$m$_2$；③

联立①②③得：△N=N$_2$-N$_1$=6mg=6×0.4×10N=24N，即小球在最低点与最高点对轨道的支持力之差为24N，根据牛顿第三定律得知压力之差也为24N．故C正确，D错误．

故选：AC

点评：

解决本题的关键知道小球在内轨道运动最高点的临界情况，以及能够熟练运用动能定理．

4多选题

(多选)如图所示，竖直平面内光滑圆轨道半径R=2m，从最低点A有一质量为m=1kg的小球开始运动，初速度v_0方向水平向右，重力加速度g取10m/s_，下列说法正确的是(　　)

小球能到达最高点B的条件是v_0≥4$\sqrt {5}$m/s

若初速度v_0=5m/s，则运动过程中，小球一定不会脱离圆轨道

若初速度v_0=8m/s，则小球将在离A点3.2m高的位置离开圆轨道

若初速度v_0=8m/s，则小球离开圆轨道时的速度大小为2$\sqrt {2}$m/s

题目答案

答案解析

分析：

当小球能到达最高点时，由重力提供向心力，此时速度最小，求出最小速度，再根据动能定理求出v_0的最小值，刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，重力沿半径方向的分量提供向心力，根据向心力公式结合动能定理以及几何关系即可求解．

解答：

解：A、当小球能到达最高点时，由重力提供向心力，此时速度最小，则

mg=m$\frac {v}{R}$

解得：v=$\sqrt {gR}$=$\sqrt {20}$m/s

从A到B的过程中，根据动能定理得：

$\frac {1}{2}$mv_-$\frac {1}{2}$mv_0_=-mg•2R

解得：v_0=10m/s

所以小球能到达最高点B的条件是v_0≥10m/s，故A错误；

B、当小球恰好运动到AB中点时，有 mgR=$\frac {1}{2}$m_0，v_0=$\sqrt {2gR}$=$\sqrt {2×10×2}$=2$\sqrt {10}$m/s＞5m/s．则小球在轨道下部分来回运动，一定不会离开轨道，故B正确；

C、刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，重力沿半径方向的分量提供向心力，设此时重力方向与半径方向的夹角为θ，则

mgcosθ=m$\frac {v′}{R}$

根据几何关系得：cosθ=$\frac {h}{R}$

根据动能定理得：$\frac {1}{2}$mv′_-$\frac {1}{2}$mv_0_=-mg•(R+h)

解得：v′=2$\sqrt {2}$m/s，h=0.8m

所以离开圆轨道得位置离A点的距离为H=0.8+2=2.8m，故C错误，D正确．

故选：BD

点评：

本题主要考查了向心力公式、动能定理的直接应用，知道小球到达最高点的条件，特别注意刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，难度较大．

5多选题

(多选)如图所示，竖直面内有个光滑的$\frac {3}{4}$圆形导轨固定在一水平地面上，半径为R．一个质量为m的小球从距水平地面正上方h高处的P点由静止开始自由下落，恰好从N点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M飞出后，恰好落在轨道右端口N处

若h=2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg

只有h大于等于2.5R时，小球才能到达圆轨道的最高点M

若h=R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为mgR

题目答案

答案解析

分析：

本题B的关键是列出小球到达最高点B时应满足mg=m$\frac {V}{R}$表达式，然后根据动能定理求出摩擦力做的功，再根据功能原理即可求解；

解答：

解：A、球到达最高点点时至少应满足：mg=m$\frac {V}{R}$…①，

解得：V=$\sqrt {gR}$；小球离开最高点后做平抛运动，下落高度为R时，运动的水平距离为：x=Vt=$\sqrt {gR}$$\sqrt {}$=$\sqrt {2}$R，故A错误；

B、从P到最低点过程由动能定理可得：2mgR=$\frac {1}{2}$mv_…②，

由向心力公式：N-mg=m$\frac {V}{R}$，

联立得：N=5mg；故B正确；

C、由动能定理：mgh=$\frac {1}{2}$mV_，V=$\sqrt {gR}$；

解得：h=2.5R，故C正确；

D、若h=R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为0，D错误

故选：BC

点评：

本题主要考查了动能定理、圆周运动的临界条件及平抛运动基本公式的直接应用，要求同学们能判断出运动过程中机械能是否守恒，难度适中．

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