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判断一个三角形是否为直角三角形的方法

当两条较短边的平方和等于最长边的平方时，此三角形为直角三角形. 例如∶以a=15，b=12，c=9为三边的三角形，因为a²=15²=225，b²=12²=144，c=9²=81，所以b²＋c²=a²，所以此三角形是直角三角形.

分析：

首先根据BD⊥CD，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=$\frac {1}{2}$BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC=$\frac {1}{2}$BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．

解答：

解：∵BD⊥CD，点E是BC的中点，

∴DE是直角三角形BDC的中线，

∴DE=BE=EC=$\frac {1}{2}$BC，

∵DE∥AB，AD∥BC，

∴四边形ABED是菱形，

∴AB=DE，

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，

∴DC=$\frac {1}{2}$BC，

又∵△BDC是直角三角形，

∴∠DBC=30°，

∴∠BCD=60°．

故答案为60．

点评：

此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定与性质．解此题的关键是熟练掌握直角三角形中，30°的角对应的直角边等于斜边的一半，此题难度一般．

分析：

过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答：

解：过点P作PE⊥AB于点E，

∵∠APC=75°，∠BPD=30°，

∴∠APB=75°，

∵∠BAP=∠APC=75°，

∴∠APB=∠BAP，

∴AB=PB=200m，

∵∠ABP=30°，

∴PE=$\frac {1}{2}$PB=100m．

故答案为：100．

点评：

本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

分析：

根据绝对值的非负性列出关于a、b的二元一次方程组，计算求出a、b的值再代入求值即可．

解答：

解：根据题意得，$\left\{\begin{matrix}3a+b+5=0 \ 2a-2b-2=0 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}a=-1 \ b=-2 \ \end{matrix}\right.$，

则2a+b=2×(-1)-2=-4，

故答案为：-4．

点评：

本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

分析：

根据圆周角定理，得∠A=∠BDC=60°，从而判断△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得其外接圆的直径，从而求得其周长．

解答：

解：连接OC，作OE⊥AC于E．

∵∠ACB=∠BDC=60°，

∴∠A=∠BDC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠OCE=30°，CE=$\frac {1}{2}$AC=$\sqrt {}$(垂径定理)，

∴OC=$\frac {CE}{cos30°}$=2，

则⊙O的周长是4π．

故答案为4π．

点评：

此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质．

注意：等边三角形的外心和内心重合，是它的三边垂直平分线的交点．

分析：

根据根与系数的关系，可求出x$_1$+x$_2$以及x$_1$x$_2$的值，然后根据x$_1$_+3x$_1$x$_2$+x$_2$_=(x$_1$+x$_2$)_+x$_1$x$_2$进一步代值求解．

解答：

解：由题意，得：x$_1$+x$_2$=3，x$_1$x$_2$=-2；

原式=(x$_1$+x$_2$)_+x$_1$x$_2$=9-2=7．

点评：

熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．

分析：

根据二次根式的性质解答.

解答：

解：==3.

故答案为：3.

点评：

解答此题利用如下性质：=|a|.

分析：

表示出根的判别式，进行配方后得到完全平方式，进行解答．

解答：

解：△=9(m-1)_-4×2(m_-4m-7)

=m_+14m+65

=(m+7)_+16．

∴a=7，b=16

故a+b=16+7=23．

点评：

本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

解答：

∵斜边中线为7cm，

∴斜边为14cm，

∴S_△=14×5×$\frac {1}{2}$

=35cm_.

根据全等三角形的对应边相等得AB=DE，AC=DF，BC=EF，结合题中图形可知BC-EC=EF-EC,即BE=CF.

分析：

利用待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D．

解答：

解：∵抛物线y=ax+bx+3经过点A(1，0)，点C(4，3)，

∴$\left\{\begin{matrix}a+b+3=0 \ 16a+4b+3=3 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}a=1 \ b=-4 \ \end{matrix}\right.$，

所以，抛物线的解析式为y=x-4x+3；

∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，

则$\left\{\begin{matrix}k+b=0 \ 4k+b=3 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}k=1 \ b=-1 \ \end{matrix}\right.$，

所以，直线AC的解析式为y=x-1，

∵y=x-4x+3=(x-2)_-1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=2-1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D(2，1)，使△BCD的周长最小；

点评：

本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．

分析：

根据AD∥BC，AE∥DC，得四边形AECD是平行四边形，AD=CE，由∠B=60°，得△ABE是等边三角形，则AB=BE=AE=2，从而求出等腰梯形的周长．

解答：

解：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE，

∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∵△ABE的周长为6，∴AB=BE=AE=2，

∴CE=1.5，∴等腰梯形的周长=1.5+2+2+3.5=9．

点评：

本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的判定．

分析：

根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，因此所得图形与原图形全等．

解答：

解：做A$_1$M⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，易得△A$_1$MO≌△ONA，

∵A(3，4)，

∴A$_1$的坐标是(-4，3)．

点评：

此题考查了中心对称的两点的坐标之间的关系：(a，b)绕原点旋转逆时针90°后的点的坐标为(-b，a)．

分析：

将x与y的值代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．

解答：

将x=1，y=3代入方程组得：$\left\{\begin{matrix}2-3=m \ 1+3m=n \ \end{matrix}\right.$，

解得：m=-1，n=-2，

则|m+n|=|-1-2|=|-3|=3．

故答案为：3

点评：

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

解: 原式 $=-13 \times(-3) \times\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{39}{5}$

（1）旋转角的确定

一组对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角（如图中∠AMD）.

（2）旋转中心的确定

连接两组对应点，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心.（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）

分析：

根据平行线的同位角相等的性质求出∠ACB的度数，进而求出∠2的度数．

解答：

∵DE∥BF，∠1=40°，

∴∠ACB=∠1=40°，

∴∠2=180°-∠ACB=180°-40°=140°．

点评：

本题比较简单，考查的是平行线的性质及平角的性质．

（1）角平分线上的点到角两边的距离为AB，不是AC；

（2）“距离”是指垂线段的长度；

（3）应用此性质的前提条件是：图中有角平分线与垂直的条件.

利用角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等.

分析：

此题比较简单，点坐标代入函数关系方程移项就可得到答案.

解答：

点(m,n)在函数y=2x+3的图象上，所以有n=2m+3，则移项可得2m-n=-3.

点评：

考察函数的应用及简单的代数式变形，比较简单.