《反函数的求法》反函数的求法 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《反函数的求法》反函数的求法

1单选题

函数y=($\frac {1}{2}$)_+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（　　）

A
B
C
D

题目答案

A

答案解析

分析：

函数y=($\frac {1}{2}$)_+1的图象关于直线y=x对称的图象，即为函数y=($\frac {1}{2}$)_+1反函数的图象，求出函数的反函数后，分析其反函数的性质，并逐一分析四个答案，即可得到答案．

解答：

解：∵函数y=($\frac {1}{2}$)_+1反函数为y=log_$\frac {1}{2}$(x-1)

其图象过(2，0)点，

且在定义域(1，+∞)为减函数

分析四个答案发现只能A满足要求

故选A

点评：

本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出其反函数的解析式是解答本题的关键．

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2单选题

已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=($\frac {1}{2}$)_+1，则f(x)的反函数的图象大致是（　　）

A
B
C
D

题目答案

A

答案解析

分析：

根据已知条件我们易得f(x)的反函数也为奇函数，根据x＞0时，函数的解析式，我们易求出反函数的解析式及定义域，分析其性质判断反函数图象的形状，并逐一分析四个答案，即可得到结论．

解答：

解：∵f(x)是R的奇函数，

故f(x)的反函数也为奇函数，

又∵x＞0时，f(x)=($\frac {1}{2}$)_+1

此时其反函数f_(x)=log_$\frac {1}{2}$(x-1)(1＜x＜2)

分析四个答案，发现只有A答案满足条件

故选A

点评：

本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出当x＞0时，其反函数的解析式及定义域是解答本题的关键．

纠错重做

3单选题

若函数y=f(x)是函数y=a_(a＞0，且a≠1)的反函数，且f($\frac {1}{2}$)=1，则函数y=（　　）

A
log$_2$x
B
$\frac {1}{2}$
C
log _$\frac {1}{2}$x
D
2_

题目答案

D

答案解析

分析：

由f($\frac {1}{2}$)=1可得 f_(1)=$\frac {1}{2}$，即 a_=$\frac {1}{2}$，解出a的值，即得函数y的解析式．

解答：

解：∵f($\frac {1}{2}$)=1，

∴f_(1)=$\frac {1}{2}$，

由题意知a_=$\frac {1}{2}$，

∴a=2，

y=a_(a＞0，且a≠1)y=2_，

故选 D．

点评：

本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系．

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4单选题

函数y=log$_2$_(x＞1)的反函数为y=f_(x)，则f_(2)等于（　　）

A
3
B
2
C
0
D
-2

题目答案

A

答案解析

分析：

首先求出函数y=log$_2$_(x＞1)的反函数y=f_(x)，然后把x=2代入反函数，求出值即可．

解答：

解：∵函数y=log$_2$_(x＞1)的反函数为y=f_(x)，

∴反函数为y=f_(x)=1+$\sqrt {}$(x∈R)，

∴f_(2)=1+2=3，

故选A．

点评：

本题主要考查反函数的知识点，求出原函数的反函数是解答本题的关键．

纠错重做

5单选题

下列函数中，反函数是其自身的函数为（　　）

A
f(x)=x_，x∈[0，+∞)
B
f(x)=x_，x∈[-∞，+∞)
C
f(x)=c_，x∈(-∞，+∞)
D
f(x)=$\frac {1}{x}$，x∈(0，+∞)

题目答案

D

答案解析

分析：

求出各个选项中函数的反函数，考查反函数是否是它本身，从而选出答案．

解答：

解：∵f(x)=x_，x∈[0，+∞)的反函数是 y=$\sqrt {x}$，x∈[0，+∞)，故A不满足条件．

∵f(x)=x_，x∈(-∞，+∞)的反函数是 y=$\sqrt {x}$，x∈(-∞，+∞)，故B不满足条件．

∵f(x)=c_，x∈(-∞，+∞)的反函数是 y=log_c_，x＞0，故C不满足条件．

∵f(x)=$\frac {1}{x}$，x∈(0，+∞)的反函数是f_(x)=$\frac {1}{x}$，x∈(0，+∞)，和原函数相同，故D满足条件．

综上，只有D满足条件，

故选D．

点评：

本题考查求反函数的方法，注意反函数的定义域是原函数的值域．

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6单选题

函数y=$\left\{\begin{matrix}x+1， x≥0 \ $\frac {2}{x}$，x＜0 \ \end{matrix}\right.$ 的反函数是(     )．

题目答案

A

答案解析

分析：

由原函数的分段解析式分别解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域(即原函数的值域)，最后再写成分段函数的形式即可．

解答：

解：∵y=x+1(x≥0)，

∴x=$\sqrt {y-1}$，y≥1，

故y=x+1(x≥0)的反函数为 y=$\sqrt {x-1}$(x≥1)，

同样地，y=$\frac {2}{x}$(x＜0)的反函数为 y=$\frac {2}{x}$(x＜0)，

∴函数y=$\left\{\begin{matrix}x+1， x≥0 \ $\frac {2}{x}$，x＜0 \ \end{matrix}\right.$ 的反函数是 y=$\left\{\begin{matrix} $\sqrt {x-1}$， x≥1 \ $\frac {2}{x}$， x＜0. \ \end{matrix}\right.$．

故答案为：y=$\left\{\begin{matrix} $\sqrt {x-1}$， x≥1 \ $\frac {2}{x}$， x＜0. \ \end{matrix}\right.$，选A．

点评：

本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．

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7单选题

设函数f(x)=2_+1(x∈R)的反函数为f_(x)，则函数y=f_(x)的图象是(  )

A
B
C
D

题目答案

A

答案解析

分析：

本题考查反函数的概念，互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法、函数的图象等相关知识点；

由于本题为选择题，所以可以有两种方法，一种是直接法，求出反函数的解析式，然后找出符合的图象，另一种是取特值利用排除法，此法较为简捷，充分利用互为反函数的函数图象关于y=x对称获得．

解答：

解：

法一：由y=2_+1解得：x=log$_2$(y-1)

即：y=log$_2$(x-1)且x＞1

所以函数f(x)=2_+1(x∈R)的反函数为f_(x)=log$_2$(x-1)，x＞1

故选A．



法二：由函数f(x)=2_+1，令x=0得y=2，

则点(0，2)为函数f(x)=2_+1上的一个特殊点

因为互为反函数的函数图象关于y=x对称，

所以点(2，0)为f(x)=2_+1反函数上的点，

排除选项B、C

又x＞1，排除选项D

故选A．

点评：

本题有一定的综合性，求解过程展示了知识运用的灵活性，两种不同的解法反映了两种不同的思路，各有特点，尤其方法二通过点的坐标的代入求得，求解巧妙，自然流畅．

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8单选题

若函数f(x)的反函数为f_(x)，则函数f(x-1)与f_(x-1)的图象可能是（　　）

A
B
C
D

题目答案

A

答案解析

分析：

f(x)和f_(x)关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f(x)的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f(x-a)而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．

解答：

解：函数f(x-1)是由f(x)向右平移一个单位得到，

f_(x-1)由f_(x)向右平移一个单位得到，

而f(x)和f_(x)关于y=x对称，

从而f(x-1)与f_(x-1)的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1，排除B，D；

A，C选项中各有一个函数图象过点(2，0)，则平移前的点坐标为(1，0)，则反函数必过点(0，1)，平移后的反函数必过点(1，1)，由此得：A选项有可能，C选项排除；

故选A．

点评：

用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．

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9单选题

函数y=$\left\{\begin{matrix}2x，x≥0 \ -x_，x＜0 \ \end{matrix}\right.$的反函数是（　　）

题目答案

C

答案解析

分析：

本题考查分段函数的反函数，其求法相当于求两个反函数，其特点是分段求解，分别考虑x≥0和x＜0利用对应的解析式解出x即可．

解答：

解：根据分段函数的反函数的求法，

当x≥0时，x=$\frac {1}{2}$y，y≥0，

当x＜0时，x=-$\sqrt {-y}$，y＜0，

所以原函数的反函数为y=$\left\{\begin{matrix}$\frac {x}{2}$，x≥0 \ -$\sqrt {-x}$，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，

故选C．

点评：

本题求解的特点是分别考虑x≥0和x＜0，这里给出了分段函数求反函数的一般方法．

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10单选题

函数y=1+a_(0＜a＜1)的反函数的图象大致是（　　）

A
B
C
D

题目答案

A

答案解析

分析：

从条件中函数式y=1+a_(0＜a＜1)中反解出x，再将x，y互换即得，然后再判断函数的图象．

解答：

解：函数y=1+a_(0＜a＜1)的反函数为y=log_a(x-1)，

它的图象是函数y=log_ax向右移动1个单位得到，

故选A．

点评：

本题主要考查反函数的知识点，求反函数，一般应分以下步骤：(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置；(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域)．

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11单选题

已知函数y=e_的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（　　）

A
f(2x)=e_(x∈R)
B
f(2x)=ln2•lnx(x＞0)
C
f(2x)=2e_(x∈R)
D
f(2x)=lnx+ln2(x＞0)

题目答案

D

答案解析

分析：

本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．

根据函数y=e_的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称可知f(x)是y=e_的反函数，由此可得f(x)的解析式，进而获得f(2x)．

解答：

解：函数y=e_的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，

所以f(x)是y=e_的反函数，即f(x)=lnx，

∴f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x＞0)，

选D．

点评：

本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数y=e_的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称这一特点，确认f(x)是原函数的反函数非常重要，是本题解决的突破口．

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12单选题

函数y=$\sqrt {}$-1(x≤0)的反函数是（　　）

A
y=$\sqrt {}$(x≥-1)
B
y=-$\sqrt {}$(x≥-1)
C
y=$\sqrt {}$(x≥0)
D
y=-$\sqrt {}$(x≥0)

题目答案

B

答案解析

分析：

从函数y=$\sqrt {}$-1(x≤0)中解出x=$\sqrt {}$，并求出函数值域y≥-1，将x与y互换位置后即为反函数同时标明定义域．

解答：

解：由y=$\sqrt {}$-1(x≤0)得y+1=$\sqrt {}$，

所以y+1≥0，且(y+1)_=x_，

因为x≤0，所以x=-$\sqrt {}$且y≥-1，

所以反函数为y=-$\sqrt {}$(x≥-1)

故选择B

点评：

本题主要考查求反函数这一知识点，在求解过程中兼顾了对根式与指数幂的简单计算问题的考查，在x开方时容易忽略x≤0这个条件，虽属于基础题，但也极易马虎．

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13单选题

函数y=$\frac {1-x}{x}$(x≠0)的反函数的图象大致是（　　）

A

B

C

D

题目答案

B

答案解析

分析：

化简函数y=$\frac {1-x}{x}$，找出特殊点(0，-1)，再求关于y=x的对称点，注意单调性，可以选出正确选项．

解答：

解：函数y=$\frac {1-x}{x}$=$\frac {1}{x}$-1，(x≠0)则y≠-1，关于y=x的对称，反函数中x≠-1，y≠0，函数y=$\frac {1-x}{x}$=$\frac {1}{x}$-1的反函数在(-∞，-1)是减函数，故选B．

点评：

本题考查反函数及其图形，函数的单调性等知识，是基础题．

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14单选题

已知f(x)=$\frac {1+ln(x-1)}{2}$(x＞1)，则f_(x)=（　　）

A
1+e_
B
2+e_
C
1+e_
D
2+e_

题目答案

A

答案解析

分析：

由原函数解出x的解析式，再把x、y互换，即可求得原函数的反函数．

解答：

解：∵令y=f(x)=$\frac {1+ln(x-1)}{2}$(x＞1)，可得2y-1=ln(x-1)，即 x-1=e_，∴x=e_+1，

故反函数 f_(x)=e_+1，

故选：A．

点评：

本题主要考查求一个函数的反函数的方法，属于基础题．

纠错重做

15单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}-log$_3$(x+1)  (x＞6) \ 3_-1  (x≤6) \ \end{matrix}\right.$ 的反函数为f_(x)，若f_(-$\frac {8}{9}$)=n，则f(n+4)=（　　）

A
2
B
-2
C
1
D
-1

题目答案

B

答案解析

分析：

根据反函数的定义，若f_(-$\frac {8}{9}$)=n，则f(n)=-$\frac {8}{9}$由此方程求出n，再求f(n+4)的值．

解答：

解：由题 意可得f(n)=-$\frac {8}{9}$

若3_-1=-$\frac {8}{9}$解得n=4符合题意

若-log$_3$_=-$\frac {8}{9}$，解得n=3_-1＜3故不合题意，

综上知n=4

故f(8)=-log$_3$_=-2

故选B

点评：

本题考查反函数的性质，根据反函数的性质把求函数值的问题转化为求自变量的问题，从而达到简化解题的目的，用到了转化的思想，做题时根据情况灵活转化，是解题成功的法宝．

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