《全称量词与存在量词》全称量词与存在量词

1单选题

若“∃x∈R，x+mx+1＜0”是假命题，则实数m的取值范围是（　　）

(-2，+∞)

(-∞，-2]∪[2，+∞)

[-2，2]

(-∞，-2)∪(2，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

由题意知“任意x∈R，使x+mx+1≥0””是真命题，利用△与0的关系列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可m的取值范围．

解答：

解：∵“∃x∈R，x+mx+1＜0”是假命题，∴“∀x∈R，使x+mx+1≥0”是真命题，且△=m_-4≤0，解得-2≤m≤2．故选：C．

点评：

本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．

2单选题

下列命题是真命题的是（　　）

∀x∈R，x+2＞2

∃x_0∈Q，x_0_=3

∀x∈N，x_≥1

∃x_0∈Z，x_0_＜1

题目答案

答案解析

分析：

A．取x=0不成立；

B．由x_=3，解得x=±$\sqrt {3}$为无理数，即可得出；

C．当x=0时不成立；

D．取x_0=0等，即可判断出．

解答：

解：A．∀x∈R，x+2≥2，因此A是假命题；

B．若x_=3，则x=±$\sqrt {3}$为无理数，因此∃x_0∈Q，x_0_=3，是假命题；

C．∀x∈N，x_≥1，当x=0时不成立，因此是假命题；

D．∃x_0∈Z，x_0_＜1，例如x_0=0．因此正确．

综上可知：只有D正确．

故选：D．

点评：

本题综合考查了不等式的性质、函数的性质、实数的性质等基础知识，属于基础题．

3单选题

已知∀x∈R，acos2x+bcosx≥-1恒成立，则当a≤0时，a+b的最大值是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

解：acos2x+bcosx≥-1恒成立，即a(2cos²x-1)+bcosx+1≥0令cosx=t，则f(t)=2at²+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上恒成立，若a=0时，f(t)=bt+1≥0在t∈[-1，1]上恒成立，当b≥0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≤1当b＜0时，bt+1的最小值为b+1，由b+1≥0可得b≥-1，即b∈[-1，1]，故a+b≤1，a+b的最大值为1；若a＜0，f(t)=2at²+bt+1-a为开口向下的二次函数，故只需区间两个端点处的函数值大于等于0即可，由线性规划的知识可得z=a+b＜1，综上可得a+b≤1故选B

点评：

本题为最值的求解，涉及换元法和分类讨论以及线性规划，属中档题．

4单选题

下列命题是假命题的为（　　）

∃x∈R，lge_=0

∃x∈R，tanx=x

∀x∈(0，$\frac {π}{2}$)，$\frac {1}{tanx}$＞cosx

∀x∈R，e_＞x+1

题目答案

答案解析

分析：

通过举例法判断特称命题的真假，可知A，B为真命题；根据不等式的等价变形可判断C是真命题；通过举反例判断D为假命题．

解答：

解：对A，当x=0时，lge_=0，∴A是真命题；

对B，当x=0时，tan0=0，∴B是真命题；

对C，∵x∈(0，$\frac {π}{2}$)，$\frac {1}{tanx}$＞cosx⇔1＞cosxtanx=sinx，∴C是真命题；

对D，∵x=0时，e_＞0+1不成立，∴D是假命题．

故选D．

点评：

本题考查特称命题与全称命题的真假判定．

5单选题

给出下面四个命题：

p₁：∃x∈(0，+∞)，($\frac {1}{2}$)^x＜($\frac {1}{3}$)^x；

p₂：∃x∈(0，1)，$log_{\frac {1}{2}}x$＞$log_{\frac {1}{3}}x$；

p₃：∀x∈(0，+∞)，($\frac {1}{2}$)^x＞($\frac {1}{3}$)^x；

p₄：∀x∈(0，1)，$log_{\frac {1}{2}}x$＜$log_{\frac {1}{3}}x$，其中的真命题是（　　）

p$_1$，p$_3$

p$_1$，p$_4$

p$_2$，p$_3$

p$_2$，p$_4$

题目答案

答案解析

分析：

分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p$_1$可利用两个指数函数的图象进行判断．p$_2$可以利用对数的图象来判断．p$_3$可以利用对数和指数函数的图象来判断．p$_4$：利用指数函数和对数函数的图象来判断．

解答：

解：对应命题p$_1$可，分别作出函数y=($\frac {1}{2}$)^x与y=($\frac {1}{3}$)^x的图象如图：由图象可知：∀x∈(0，+∞)，($\frac {1}{2}$)^x＞($\frac {1}{3}$)^x，所以命题p$_1$错误．p$_2$：作出对数函数y$_1$=$log_{\frac {1}{2}}x$，y$_2$=$log_{\frac {1}{3}}x$的图象，由图象知：∃x∈(0，1)，使命题p$_2$正确．p$_3$：作出函数y$_1$=$log_{\frac {1}{2}}x$，y$_2$=($\frac {1}{2}$)^x的图象，由图象知命题p$_3$不正确．P$_4$：当x∈(0，$\frac {1}{3}$)时，$log_{\frac {1}{3}}x$＞1，($\frac {1}{2}$)^x＜1，所以恒有$log_{\frac {1}{3}}x$＞($\frac {1}{2}$)^x成立，所以命题P$_4$正确．故选D．

点评：

本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．

6单选题

下列命题中为真命题的是（　　）

∀x∈R，x+2x+1=0

∃x_0∈R，-$\sqrt {}$≥0

∀x∈N_，log$_2$x＞0

∃x_0∈R，cos x_0＞x_0_+2x_0+3

题目答案

答案解析

分析：

举例说明A、B、C选项是否正确，根据函数的有界性判断D选项是否正确．

解答：

解：对于A，当x=0时，x+2x+1=1≠0，∴A错误；

对于B，当x=±1时，-$\sqrt {}$=0，∴B正确；

对于C，当x=1时，log$_2$x=0，∴C错误；

对于D，∀x∈R，cosx≤1，x+2x+3=(x+1)_+2≥2，∴D错误．

故选：B．

点评：

本题考查了判断全称命题与特称命题是否正确的问题，解题时应用举例的方法进行解答，是基础题．

7单选题

若命题“∃x∈R，使x+(a-1)x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　）

1≤a≤3

-1≤a≤1

-3≤a≤3

-1≤a≤3

题目答案

答案解析

分析：

由命题“∃x∈R，使x+(a-1)x+1＜0”是假命题，知∀x∈R，使x+(a-1)x+1≥0，由此能求出实数a的取值范围．

解答：

解：∵命题“∃x∈R，使x+(a-1)x+1＜0”是假命题，

∴∀x∈R，使x+(a-1)x+1≥0，

∴△=(a-1)_-4≤0，

∴-1≤a≤3．

故选D．

点评：

本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“∃x∈R，使x+(a-1)x+1＜0”是假命题，知∀x∈R，使x+(a-1)x+1≥0，由此进行等价转化，能求出结果．

8单选题

已知命题“∃x∈R，2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$≤0是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

(-∞，-1)

(-1，3)

(-3，+∞)

(-3，1)

题目答案

答案解析

分析：

写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．

解答：

解：∵“∃x∈R，2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$≤0”的否定为“∀x∈R，2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$＞0“

∵“∃x∈R，2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$≤0”为假命题

∴“∀x∈R，2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$＞0“为真命题

即2x+(a-1)x+$\frac {1}{2}$＞0恒成立

∴(a-1)_-4×2×$\frac {1}{2}$＜0

解得-1＜a＜3

故选B

点评：

本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．

9单选题

下列命题是假命题的为（　　）

∃x∈R，lge_=0

∃∈R，tanx=x

∀x∈(0，$\frac {π}{2}$)，cotx＞cosx

∀∈R，e_＞x+1

题目答案

答案解析

分析：

通过举特例判断出A对；通过举特例判断出B对；通过作差比较判断出C对；通过举特例判断出D错．

解答：

解：当x=0时，lge_=0，所以A对；

对于B，当x=0时，tanx=x，所以B对；

对于C，因为cotx-cosx=$\frac {cosx}{sinx}$-cosx=$\frac {cosx(1-sinx)}{sinx}$，因为∀x∈(0，$\frac {π}{2}$)，都有$\frac {cosx(1-sinx)}{sinx}$＞0，

所以有cotx＞cosx，所以C对；

对于D，当x=0时，e_=x+1，所以D错；

故选D．

点评：

本题考查要说明一个特称命题是真命题只要能举出一个特例即可；要说明一个全称命题是假命题也只要能举出一个特例即可，属于基础题．

10单选题

下列命题是假命题的为（　　）

∃x∈R，lge_=0

∃x∈R，tanx=x

∀x∈R，e_≥x+1

∀x∈(0，+∞)，x_＜x_

题目答案

答案解析

分析：

可用特殊值判断A、B、D选项是否正确；可构造函数，用函数的单调性求最值，判断C选项是否正确

解答：

解：①当x=0时，lge_=lge_=lg1=0，∴A是真命题

②当x=0时，tanx=0，∴B是真命题

③设函数y=e_-x-1，y'=e_-1

令y'=0，得x=0

∴当x＜0时，y'＜0，函数单调递减

当x＞0时，y'＞0，函数单调递增

∴当x=0时，函数取得最小值，y_min=e_-0-1=0

∴对∀x∈R，y≥0

∴C是真命题

④当x=$\frac {1}{4}$时，($\frac {1}{4}$)_=$\frac {1}{2}$，($\frac {1}{4}$)_=$\frac {1}{16}$

$\frac {1}{2}$＞$\frac {1}{16}$

∴D是假命题

故选D

点评：

本题考查命题的真假性，同时考查函数的性质，要求熟练掌握指数和指数函数的函数值、对数和对数函数的函数值．属简单题

11单选题

若命题“∃x_0∈R，使得x_0_+mx_0+2m-3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

[2，6]

[-6，-2]

(2，6)

(-6，-2)

题目答案

答案解析

分析：

先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．

解答：

解：命题“∃x_0∈R，使得_0+mx_0+2m-3＜0”的否定为：

“∀x_0∈R，都有_0+mx_0+2m-3≥0”，

由于命题“∃x_0∈R，使得_0+mx_0+2m-3＜0”为假命题，

则其否定为：“∀x_0∈R，都有_0+mx_0+2m-3≥0”，为真命题，

∴△=m_-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6．

则实数m的取值范围是[2，6]．

故选A．

点评：

本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．

12单选题

下列四个命题中，真命题是（　　）

∀x∈R，有(x-$\sqrt {2}$)_＞0

∀x∈Q，有x_＞0

∃x∈Z，使3x=128

∃x∈R，使3x-4=6x

题目答案

答案解析

分析：

ABCD选项中的命题均为全称命题和特称命题，故判断真假可用特值法．

解答：

解：对于选项A，令x=$\sqrt {2}$，即可验证不正确；

对于选项B，令x=0，即可验证不正确；

对于选项C，令x=$\frac {128}{3}$∉Z，即可验证不正确；

选项D，方程3x-4=6x，即3x-6x-4=0，△36+4×3×4＞0，该方程有解，故D正确．

故选B．

点评：

本题考查命题真假的判断和全称命题、特称命题，注意特值法在解决选择题中的应用，属基础题．

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