《极坐标与直角坐标的转换》极坐标与直角坐标的转换 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《极坐标与直角坐标的转换》极坐标与直角坐标的转换

1填空题

在极坐标系中，O是极点，设点A(4，$\frac {π}{3}$)，B(5，-$\frac {5π}{6}$)，则△OAB的面积是；

填空题答案仅供参考

题目答案

5

答案解析

分析：

欲求△OAB的面积，根据极角可得三角形的内角∠AOB，由极径得边OA，OB的长，根据三角形的面积公式即可求得．

解答：

解：如图△OAB中，

OA=4，OB=5，∠AOB=2π-($\frac {π}{3}$-(-$\frac {5π}{6}$))=$\frac {5π}{6}$

⇒S_△AOB=$\frac {1}{2}$•4•5•sin$\frac {5π}{6}$=5(平方单位)；

故答案为5．

点评：

本题考查点的极坐标的应用，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．

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2单选题

在极坐标系中，若点A(3，$\frac {π}{3}$)，B(4$\sqrt {3}$，$\frac {7π}{6}$)．则|AB|的长度与△AOB的面积(O为极点)分别为(      )

A
9；5$\sqrt {5}$
B
10；3$\sqrt {5}$
C
$\sqrt {93}$；3$\sqrt {3}$
D
$\sqrt {97}$；2$\sqrt {5}$

题目答案

C

答案解析

分析：

如图所示．∠AOB=$\frac {7π}{6}$-$\frac {π}{3}$=$\frac {5π}{6}$．利用余弦定理即可得出|AB|的长度．利用三角形的面积计算公式可得S_△AOB=$\frac {1}{2}$OA•OBsin∠AOB，即可得出．

解答：

解：如图所示．

∠AOB=$\frac {7π}{6}$-$\frac {π}{3}$=$\frac {5π}{6}$．

∴|AB|_=3_+(4$\sqrt {3}$)_-2×3×4$\sqrt {3}$cos$\frac {5π}{6}$=93．

∴|AB|=$\sqrt {93}$．

S_△AOB=$\frac {1}{2}$OA•OBsin∠AOB

=$\frac {1}{2}$×3×4$\sqrt {3}$×$\frac {1}{2}$=3$\sqrt {3}$，所以选C．

点评：

本题考查了极坐标的意义、余弦定理、三角形的面积计算公式，属于基础题．

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3单选题

若点P的直角坐标为(-$\sqrt {3}$，1)，以点P所在的直角坐标系的原点为极点，x轴的正方向为极轴，建立极坐标系．则点P的极坐标为（　　）

A
(2，$\frac {2π}{3}$)
B
(2，$\frac {5π}{6}$)
C
(2，$\frac {π}{3}$)
D
(2，$\frac {π}{6}$)

题目答案

B

答案解析

分析：

由条件利用公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得ρ、θ，可得点P的极坐标．

解答：

解：∵点P的直角坐标为(-$\sqrt {3}$，1)，

∴ρ=$\sqrt {3+1}$=2，tanθ=$\frac {1}{-$\sqrt {3}$}$=-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$．

在结合点P在第二象限可取θ=$\frac {5π}{6}$，

故选：B．

点评：

本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．

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4单选题

在极坐标系中，点P(2，$\frac {π}{4}$)关于极点的对称点的极坐标是(       )

A
(2，π+2kπ)
B
(2，2kπ)
C
(2，$\frac {π}{4}$+2kπ)
D
(2，$\frac {5π}{4}$+2kπ)

题目答案

D

答案解析

分析：

由点M(ρ，θ)关于极点的对称点到极点的距离等于ρ，极角为2kπ+π+θ，从而求得对称点的极坐标．

解答：

解：由点的极坐标的意义可得，点M(ρ，θ)关于极点的对称点到极点的距离等于ρ，极角为2kπ+π+θ，

故P(2，$\frac {π}{4}$)关于极点的对称点的极坐标是(2，$\frac {5π}{4}$+2kπ)．

故答案为：(2，$\frac {5π}{4}$+2kπ)，所以选D．

点评：

本题主要考查在极坐标系中，求点的极坐标的方法，属于基础题．

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5单选题

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若点M的直角坐标是(-1，$\sqrt {3}$)，则点M的极坐标为（　　）

A

(2，$\sqrt {3}$)

B

(2，-$\frac {π}{3}$)

C

(2，$\frac {2π}{3}$)

D

(2，2kπ+$\frac {π}{3}$)，(k∈Z)

题目答案

C

答案解析

分析：

根据极坐标与直角坐标互化的公式，求出点M的极坐标．

解答：

解：∵点M的直角坐标是(-1，$\sqrt {3}$)，∴ρ=$\sqrt {1+3}$=2，tanθ=$\frac {\sqrt {3}}{-1}$=-$\sqrt {3}$，θ∈[0，π)，∴θ=$\frac {2π}{3}$；∴点M的极坐标为(2，$\frac {2π}{3}$)．故选：C．

点评：

本题考查了直角坐标与极坐标互化的问题，利用极坐标与直角坐标互化公式计算即可．

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6单选题

在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，-$\sqrt {3}$)、若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（　　）

A
(1，-$\frac {π}{3}$)
B
(2，$\frac {4π}{3}$)
C
(2，-$\frac {π}{3}$)
D
(2，-$\frac {4π}{3}$)

题目答案

C

答案解析

分析：

求出OP的距离，就是极径，利用三角函数求出极角，即可得到选项．

解答：

解：由题意 OP=2，设极角为θ，点P的直角坐标为(1，-$\sqrt {3}$)、所以cosθ=$\frac {1}{2}$，sinθ=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，所以θ=-$\frac {π}{3}$，

则点P的极坐标可以是：(2，-$\frac {π}{3}$)

故选C

点评：

本题是基础题，考查极坐标与直角坐标的互化，注意ρcosθ=x，ρsinθ=y的应用，注意极角的求法，三角函数的符号，考查计算能力．

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7单选题

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(-1，1)，若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（　　）

A
(-$\sqrt {2}$，-$\frac {π}{4}$)
B
($\sqrt {2}$，-$\frac {5π}{4}$)
C
($\sqrt {2}$，$\frac {11π}{4}$)
D
(-$\sqrt {2}$，$\frac {3π}{4}$)

题目答案

D

答案解析

分析：

利用直角坐标化为极坐标的方法即可得出．

解答：

解：∵点P的坐标为(-1，1)，

∴ρ=$\sqrt {2}$，θ=$\frac {3π}{4}$．

∴P极坐标可以是($\sqrt {2}$，$\frac {3π}{4}$)，(-$\sqrt {2}$，-$\frac {π}{4}$)，($\sqrt {2}$，-$\frac {5π}{4}$)，($\sqrt {2}$，2π+$\frac {3π}{4}$)．

而(-$\sqrt {2}$，$\frac {3π}{4}$)不是点P的极坐标．

故选：D．

点评：

本题考查了直角坐标化为极坐标的方法、极坐标的表示方法，属于基础题．

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8单选题

△OP$_1$P$_2$的一个顶点在极点O，其它两个顶点分别为P$_1$(-5，$\frac {3π}{4}$)，P$_2$(4，$\frac {π}{12}$)，则△OP$_1$P$_2$的面积是(       )

A
4$\sqrt {2}$
B
5$\sqrt {3}$
C
3$\sqrt {5}$
D
4$\sqrt {7}$

题目答案

B

答案解析

分析：

本题先求出三角形一角，再利用三角形的一角的两边，用三角形面积公式得到三角形的面积大小．

解答：

解：极坐标系下，P$_1$(-5，$\frac {3π}{4}$)，

∴P$_1$(5，-$\frac {π}{4}$)．

∵P$_2$(4，$\frac {π}{12}$)，

∴∠P$_1$0P$_2$=$\frac {π}{12}$+$\frac {π}{4}$=$\frac {π}{3}$，

∵|OP$_1$|=5，|OP$_2$|=4，

∴S_△0P$_1$P$_2$=$\frac {1}{2}$|OP$_1$||OP$_2$|sin∠P$_1$OP$_2$=$\frac {1}{2}$×5×4×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=5$\sqrt {3}$．

故答案为：5$\sqrt {3}$，所以选B．

点评：

本题考查的是极坐标的几何意义及三角形的面积公式，本题有一定的计算量，但总体难度不大，属于中档题．

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9填空题

在极坐标系下，O是极点，已知A(3，$\frac {π}{3}$)，B(4，-$\frac {π}{6}$)，则△AOB的面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

6

答案解析

分析：

由A(3，$\frac {π}{3}$)，B(4，-$\frac {π}{6}$)，可得∠AOB=$\frac {π}{3}$+$\frac {π}{6}$=$\frac {π}{2}$．即可得出．

解答：

解：∵A(3，$\frac {π}{3}$)，B(4，-$\frac {π}{6}$)，

∴∠AOB=$\frac {π}{3}$+$\frac {π}{6}$=$\frac {π}{2}$．

∴△AOB的面积S=$\frac {1}{2}$×3×4=6．

故答案为：6．

点评：

本题考查了极坐标的意义、三角形的面积计算公式，属于基础题．

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