《圆柱、圆锥和圆台的表面积》圆柱、圆锥和圆台的表面积 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《圆柱、圆锥和圆台的表面积》圆柱、圆锥和圆台的表面积

1单选题

若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为(       )

A
arcsin$\frac {1}{3}$
B
arccos$\frac {1}{3}$
C
arctan$\frac {1}{3}$
D
arccot$\frac {1}{3}$

题目答案

A

答案解析

分析：

由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角．

解答：

解：设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴$\frac {πrl}{πr}$=$\frac {l}{r}$=3，

即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：



则sinθ=$\frac {r}{l}$=$\frac {1}{3}$，

∴θ=arcsin$\frac {1}{3}$，

故答案为：arcsin$\frac {1}{3}$，选A．

点评：

本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．

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2单选题

若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为(       )

A
arcsin$\frac {1}{3}$
B
arccos$\frac {1}{3}$
C
arctan$\frac {1}{3}$
D
arccot$\frac {1}{3}$

题目答案

B

答案解析

分析：

由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．

解答：

解：设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴$\frac {πrl}{πr}$=$\frac {l}{r}$=3，

即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：



则cosθ=$\frac {r}{l}$=$\frac {1}{3}$，

∴θ=arccos$\frac {1}{3}$，

故答案为：arccos$\frac {1}{3}$，选B．

点评：

本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．

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3填空题

一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

6π

答案解析

分析：

求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．

解答：

解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，

所以它的底面半径为：1，

所以圆柱的表面积为S=2S_底+S_侧=2×1_×π+2π×2=6π．

故答案为：6π．

点评：

本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．

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4填空题

在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=cm_．

填空题答案仅供参考

题目答案

2600π

答案解析

分析：

将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．

解答：

解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，

侧面展开图的面积 S=(50+80)×20π×2×$\frac {1}{2}$=2600πcm_．

故答案为：2600π

点评：

本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．

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5单选题

表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（　　）

A
1
B
2
C
$\frac {$\sqrt {15}$}{5}$
D
$\frac {2$\sqrt {15}$}{5}$

题目答案

B

答案解析

分析：

设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．

解答：

解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，

则由πl=2πr得l=2r，

而S=πr_+πr•2r=3πr_=3π

故r_=1

解得r=1，所以直径为：2．

故选B

点评：

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

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6单选题

底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为（　　）

A
20π
B
18π
C
16π
D
14π

题目答案

C

答案解析

分析：

根据圆柱的侧面展开图是以底面圆周长为一边、圆柱的高为另一边的矩形，利用圆的周长公式与矩形面积公式加以计算，即可得到该圆柱的侧面积．

解答：

解：由于圆柱的底面直径是4，所以圆柱的底面圆半径R=2，

可得底面圆的周长为2πR=4π，

∵圆柱的侧面展开是以底面圆周长为一边，圆柱的高为另一边的矩形，

∴该圆柱的侧面积为S=2πRh=4π×4=16π．

故选：C

点评：

本题给出圆柱的底面直径和高，求圆柱的侧面积，着重考查了圆柱的结构特征、圆的周长公式与圆柱侧面积公式等知识，属于基础题．

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7单选题

如果圆锥底面半径为r，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的侧面积为（　　）

A
$\sqrt {2}$πr_
B
($\sqrt {2}$+1)πr_
C
$\frac {1}{3}$($\sqrt {2}$+1)πr_
D
$\frac {2}{3}$πr_

题目答案

A

答案解析

分析：

根据圆锥的底面半径及轴截面为等腰直角三角形，然后求出圆锥的母线，即可求解圆锥的侧面积．

解答：

解：∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，圆锥的底面半径为r，

圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

∴圆锥的母线长为 $\sqrt {2}$r，

底面周长为：2πr．

圆锥的侧面积为：$\frac {1}{2}$×2πr×$\sqrt {2}$r=$\sqrt {2}$πr_．

故选A．

点评：

本题考查圆锥的计算，得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积=$\frac {1}{2}$×底面周长×母线长的应用．

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8填空题

某圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，则圆锥的全面积为．(结果保留π)

填空题答案仅供参考

题目答案

24π

答案解析

分析：

利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．

解答：

解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，

∴底面圆的半径为3，则底面周长=6π，

∴侧面面积=$\frac {1}{2}$×6π×5=15π；

∴底面积为=9π，

∴全面积为：15π+9π=24π．

故答案为24π．

点评：

本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．

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9填空题

若圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为cm_．(结果保留π)

填空题答案仅供参考

题目答案

24π

答案解析

分析：

表面积=底面积+侧面积=π×底面半径_+底面周长×母线长÷2．

解答：

解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，

侧面面积=$\frac {1}{2}$×6π×5=15π；

底面积为=9π，

全面积为：15π+9π=24π．

故答案为24π．

点评：

本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．

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10填空题

一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，高为3$\sqrt {3}$，则圆锥的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

27π

答案解析

分析：

设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

解答：

解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，侧面积=$\frac {1}{2}$×2πrR=$\frac {1}{2}$πR_，

∴R=2r，

由勾股定理得，R_=($\frac {R}{2}$)_+(3$\sqrt {3}$)_，

∴R=6，r=3，

∴圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面积=18π+9π=27π．

故答案为27π．

点评：

本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．

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11填空题

如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，它的底面圆的直径为4cm，则它的总表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

12π

答案解析

分析：

首先根据底面直径求得扇形的弧长，然后求得其侧面积和底面积即可求得其表面积．

解答：

解：∵底面直径为4，

∴展开扇形的弧长为4π，

设母线长为l，

则4π=$\frac {180πl}{180}$

∴母线长为4，

∴侧面积为$\frac {1}{2}$lr=$\frac {1}{2}$×4π×4=8π，

底面为积为4π，

∴表面积为12π，

故答案为：12π

点评：

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟悉有关扇形的弧长和面积的公式．

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