《数学期望及性质》数学期望及性质 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《数学期望及性质》数学期望及性质

1单选题

某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（　　）

A
150.2克
B
149.8克
C
149.4克
D
147.8克

题目答案

B

答案解析

分析：

用样本的期望值来估计总体的期望值，先计算总体的期望值，有10个苹果，每个重量的苹果出现一次，利用每个苹果的重量乘以出现的概率，得到要求的期望值．

解答：

解：∵随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，

∴期望值是$\frac {1}{10}$(150+152+153+149+148+146+151+150+152+147)=149.8．

故选B．

点评：

本题主要考查期望值，注意期望值同平均数的关系，期望值是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望值将为今后学习概率统计知识做铺垫．

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2单选题

如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a，落在圆盘中2分处的概率为b，落在圆盘中0分处的概率为c，(a，b，c∈(0，1))，已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$的最小值为(　　)

A
$\frac {32}{3}$
B
$\frac {28}{3}$
C
$\frac {14}{3}$
D
$\frac {16}{3}$

题目答案

A

答案解析

分析：

由数学期望可得3a+2b=1，可得$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$=($\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$)(3a+2b)=6+$\frac {2}{3}$+$\frac {4b}{a}$+$\frac {a}{b}$，由基本不等式可得．

解答：

解：由题意可得数学期望为3a+2b+0×c=1，

∴$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$=($\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$)(3a+2b)

=6+$\frac {2}{3}$+$\frac {4b}{a}$+$\frac {a}{b}$≥$\frac {20}{3}$+2$\sqrt {}$=$\frac {32}{3}$

当且仅当$\frac {4b}{a}$=$\frac {a}{b}$即a=$\frac {1}{4}$，b=$\frac {1}{8}$时取等号，

∴$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$的最小值为$\frac {32}{3}$

故选：A．

点评：

本题考查基本不等式，涉及数学期望的应用，属基础题．

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3单选题

已知X分布列如图，设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是(　　)

A

-$\frac {1}{6}$

B

$\frac {2}{3}$

C

1

D

$\frac {29}{36}$

题目答案

B

答案解析

分析：

根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于a的等式，解出a的值，算出x的期望，根据x与Y之间期望的关系，写出出要求的期望值．

解答：

解：由已知得$\frac {1}{2}$$\frac {1}{6}$+a=1∴a=$\frac {1}{3}$，∴E(X)=-$\frac {1}{2}$+$\frac {1}{3}$=-$\frac {1}{6}$，∵E(Y)=2E(X)+1，∴E(Y)=$\frac {2}{3}$．故选B

点评：

本题考查分布列的性质，考查两个变量分布列之间的关系，是一个基础题，这种题目运算量比较小，是一个容易得分题目．

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4单选题

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5(投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分)，其中a、b∈(0，1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（　　）

A
$\frac {1}{6}$
B
$\frac {1}{12}$
C
$\frac {1}{24}$
D
$\frac {1}{32}$

题目答案

D

答案解析

分析：

设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知$\left\{\begin{matrix}a+b+c+0.5=1 \ 3a+2b+c=1 \ \end{matrix}\right.$，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．

解答：

解：设这个篮球运动员得1分的概率为c，

∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，

投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，

∴$\left\{\begin{matrix}a+b+c+0.5=1 \ 3a+2b+c=1 \ \end{matrix}\right.$，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈(0，1)，

∴2ab≤($\frac {2a+b}{2}$)_=($\frac {0.5}{2}$)_=$\frac {1}{16}$，

∴ab≤$\frac {1}{32}$，

当且仅当2a=b=$\frac {1}{4}$时，ab取最大值$\frac {1}{32}$．

故选D．

点评：

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．

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5填空题

随机变量x的分布列为x=1，2，4，p=0.4，0.3，0.3，则E(5x+4)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

15

答案解析

分析：

利用离散型随机变量的数学期望的计算公式求解．

解答：

解：∵随机变量x的分布列为x=1，2，4，p=0.4，0.3，0.3，

∴Ex=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，

∴E(5x+4)=5Ex+4=5×2.2+4=15．

故答案为：15．

点评：

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题．

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6填空题

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))已知他投篮一次得分的期望为2，则$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {16}{3}$

答案解析

分析：

根据题意可求得3a+2b的值，然后利用$\frac {3a+2b}{2}$=1把$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$转化为($\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$)×$\frac {3a+2b}{2}$展开后利用基本不等式求得问题的答案．

解答：

解：由题意得3a+2b=2，

$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$=($\frac {2}{a}$+$\frac {1}{3b}$)×$\frac {3a+2b}{2}$

=$\frac {1}{2}$(6+$\frac {4b}{a}$+$\frac {a}{b}$+$\frac {2}{3}$)≥$\frac {10}{3}$+2=$\frac {16}{3}$

当且仅当a=2b=$\frac {1}{2}$时取等号

故答案为：$\frac {16}{3}$

点评：

本题主要考查了基本不等式的应用，以及“1”的活用，解题的关键是构造出$\frac {b}{a}$+$\frac {a}{b}$的形式，属于中档题．

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7单选题

一支足球队每场比赛获胜(得3分)的概率为a，与对手踢平(得1分)的概率为b，负于对手(得0分)的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{3b}$的最小值为（　　）

A
$\frac {16}{3}$
B
$\frac {14}{3}$
C
$\frac {17}{3}$
D
$\frac {10}{3}$

题目答案

A

答案解析

分析：

由该足因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，得到3a+b=1，利用基本不等式求出$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{3b}$的最小值

解答：

解：因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，

所以3a+b=1

所以$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{3b}$=(3a+b)($\frac {1}{a}$+$\frac {1}{3b}$)=$\frac {10}{3}$+$\frac {a}{b}$+$\frac {b}{a}$≥$\frac {10}{3}$+2=$\frac {16}{3}$

当且仅当$\frac {a}{b}$=$\frac {b}{a}$取等号

故选A．

点评：

利用基本不等式求合适的最值时，一定注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等．

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8单选题

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.25(投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分)，其中a、b∈(0，1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（　　）

A
$\frac {1}{128}$
B
$\frac {1}{64}$
C
$\frac {1}{16}$
D
$\frac {1}{32}$

题目答案

A

答案解析

分析：

设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知$\left\{\begin{matrix}a+b+c+0.25=1 \ 3a+2b+c=1 \ \end{matrix}\right.$，解得2a+b=0.25，再由均值定理能求出ab的最大值．

解答：

解：设这个篮球运动员得1分的概率为c，

∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，

投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，

∴$\left\{\begin{matrix}a+b+c+0.25=1 \ 3a+2b+c=1 \ \end{matrix}\right.$，解得2a+b=0.25，

∵a、b∈(0，1)，

∴2ab≤($\frac {2a+b}{2}$)_=($\frac {0.25}{2}$)_=$\frac {1}{64}$

当且仅当2a=b=$\frac {1}{8}$时，2ab取最大值为$\frac {1}{64}$，

∴ab的最大值为$\frac {1}{128}$．故选A．

点评：

本题综合考查了基本不等式和数学期望的有关知识，考查了学生分析问题和解决问题的实际综合应用能力．

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