《直线的参数方程》直线的参数方程

1单选题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=2+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，直线l与抛物线y_=4x相交于A，B两点，线段AB的长是( )

6$\sqrt {3}$-1

8$\sqrt {2}$

$\frac {$\sqrt {55}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y_=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．

解答：

解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=2+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$，化为普通方程为x+y=3，

与抛物线y_=4x联立，可得x-10x+9=0，

∴交点A(1，2)，B(9，-6)，

∴|AB|=$\sqrt {}$=8$\sqrt {2}$，所以选C．

点评：

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

2填空题

在平面直角坐标系xOy中，若直线l$_1$：$\left\{\begin{matrix}x=2s+1 \ y=s \ \end{matrix}\right.$(s为参数)和直线l$_2$：$\left\{\begin{matrix}x=at \ y=2t-1 \ \end{matrix}\right.$(t为参数)平行，则常数a的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可．

解答：

解：直线l$_1$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=2s+1 \ y=s \ \end{matrix}\right.$(s为参数)，消去s得普通方程为x-2y-1=0

直线l$_2$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=at \ y=2t-1 \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，消去t得普通方程为2x-ay-a=0

∵l$_1$∥l$_2$，x-2y-1=0的斜率为k$_1$=$\frac {1}{2}$

∴2x-ay-a=0的斜率k$_2$=$\frac {2}{a}$=$\frac {1}{2}$

解得：a=4

故答案为：4．

点评：

本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力．

3单选题

极坐标ρ=cosθ和参数方程$\left\{\begin{matrix}x=-1-t \ y=2+t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)所表示的图形分别是（　　）

直线、直线

直线、圆

圆、圆

圆、直线

题目答案

答案解析

分析：

将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择．

解答：

解：∵极坐标ρ=cosθ，x=ρcosθ，y=ρsinθ，消去θ和ρ，

∴x+y_=x，

x+y_=x为圆的方程；

参数方程$\left\{\begin{matrix}x=-1-t \ y=2+t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)消去t得，3x+y+1=0，为直线的方程，

故选D．

点评：

此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

4单选题

设直线l$_1$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+t \ y=1+3t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，直线l$_2$的方程为y=3x+4则l$_1$与l$_2$的距离为( )

$\frac {2$\sqrt {13}$}{3}$

$\frac {3$\sqrt {10}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．

解答：

解析：由题直线l$_1$的普通方程为3x-y-2=0，

故它与l$_2$的距离为$\frac {|4+2|}{$\sqrt {10}$}$=$\frac {3$\sqrt {10}$}{5}$．

故答案为D．

点评：

本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于基础题．

5填空题

选做题：若直线y=2+3t．x=1-2t，(t为参数)与直线4x+ky=1垂直，则常数k=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-6

答案解析

分析：

先利用消参法将t消去，求出直线的直角坐标方程，然后根据两直线垂直则两斜率之积为-1，建立等量关系解之即可．

解答：

解：直线y=2+3t．x=1-2t，(t为参数)

消去参数t得：3x+2y-7=0

∵直线3x+2y-7=0与直线4x+ky=1垂直

∴(-$\frac {3}{2}$)×(-$\frac {4}{k}$)=-1解得：k=-6

故答案为-6．

点评：

本题主要考查了直线的参数方程，以及两直线垂直的位置关系的判定，属于基础题．

6单选题

若直线的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=2-3t \end{matrix}\right.$(t为参数)，则直线的斜率为（　　）

$\frac {2}{3}$

-$\frac {2}{3}$

$\frac {3}{2}$

-$\frac {3}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得 y=-$\frac {3}{2}$x+$\frac {7}{2}$，从而得到直线的斜率．

解答：

解：∵直线的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=2-3t \end{matrix}\right.$(t为参数)，消去参数化为普通方程可得 y=-$\frac {3}{2}$x+$\frac {7}{2}$．故直线的斜率等于-$\frac {3}{2}$．故选：D．

点评：

本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，根据直线的方程求直线的斜率，属于基础题．

7单选题

已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{matrix}x=2t \ y=1+4t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt {2}$sinθ，则直线l与圆C的位置关系为( )

相交

相离

相切

以上都有可能

题目答案

答案解析

分析：

把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．

解答：

解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x-y+1=0，

把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x+(y-$\sqrt {2}$)_=2，

所以圆心坐标为(0，$\sqrt {2}$)，半径r=$\sqrt {2}$，

因为圆心到直线l的距离d=$\frac {$\sqrt {2}$-1}{$\sqrt {5}$}$＜r=$\sqrt {2}$，所以直线l与圆C的位置关系为相交．

故答案为：A．

点评：

此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．

8填空题

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin_θ+4sinθ-ρ=0，直线l：$\left\{\begin{matrix}x=2+tcosα \ y=3+tsinα \ \end{matrix}\right.$(t为参数)过曲线C的焦点，则tanα=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

第一步：将直线l的参数方程化为普通方程，得到tanα的表达式；

第二步：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得焦点坐标；

第三步：将焦点坐标代入tanα的表达式中即得所求结果．

解答：

解：由$\left\{\begin{matrix}x=2+tcosα \ y=3+tsinα \ \end{matrix}\right.$，消参数t，得tanα=$\frac {y-3}{x-2}$．…①

曲线C的极坐标方程ρsin_θ+4sinθ-ρ=0化为ρ_sin_θ+4ρsinθ-ρ_=0，…②

将ρ_=x+y_及ρsinθ=y代入②式中，整理得x_=4y，

从而知，抛物线C的焦点坐标为(0，1)，

将焦点坐标代入①式中，得tanα=$\frac {1-3}{0-2}$=1，即tanα=1．

故答案为1．

点评：

本题主要考查了直线的参数方程及抛物线的极坐标方程．

(1)将参数方程化普通方程时，关键是消参，常见消参方式有：两式相加减、相乘除，等式两边平方，代入法消参等，应注意方程转化前后的等价性；

(2)极坐标方程化直角坐标方程时，关键是利用转换公式：$\left\{\begin{matrix}x=ρcosθ \ y=ρsinθ \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}ρ_=x+y_ \ tanθ=$\frac {y}{x}$(x≠0) \ \end{matrix}\right.$．

9单选题

过点P(1，2)的直线$\left\{\begin{matrix}x=1+4t \ y=2+3t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，与圆x+y_=4相交于A、B两点，则|AB|=( )

2$\sqrt {3}$

2$\sqrt {2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

把直线的参数方程整理为标准形式，代入圆的方程后化为直线参数的方程，利用直线参数的几何意义求解|AB|．

解答：

解：由直线$\left\{\begin{matrix}x=1+4t \ y=2+3t \ \end{matrix}\right.$，得$\left\{\begin{matrix}x=1+$\frac {4}{5}$(5t) \ y=2+$\frac {3}{5}$(5t) \ \end{matrix}\right.$，

令t′=5t，则$\left\{\begin{matrix}x=1+$\frac {4}{5}$t_ \ y=2+$\frac {3}{5}$t_ \ \end{matrix}\right.$①．

把①代入圆x+y_=4得：(t′)_+4t′+1=0．

则t_$_1$+t_$_2$=-4，t_$_1$t_$_2$=1．

∴|AB|=|t_$_1$-t_$_2$|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$．

故答案为：2$\sqrt {3}$，所以选B．

点评：

本题考查了直线的参数方程，考查了直线参数的几何意义，是基础题．

10单选题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=2+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin_θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为( )

8$\sqrt {2}$

6$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {61}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

把ρsin_θ=4cosθ化为直角坐标方程为y_=4x，直线l的参数方程化为普通方程，联立，再利用弦长公式，即可得出结论．

解答：

解：由ρsin_θ=4cosθ可得ρ_sin_θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y_=4x，

直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=2+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，普通方程为x+y=3，

两方程联立可得y+4y-12=0，

∴y=-6或2，

∴|AB|=$\sqrt {2}$•|2+6|=8$\sqrt {2}$．

故答案为：8$\sqrt {2}$，所以选B．

点评：

本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，属于基础题．

11单选题

已知直线L的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+2$\sqrt {3}$t \ y=3-2t \ \end{matrix}\right.$(t为参数 )，则直线的倾斜角为（　　）

$\frac {π}{6}$

$\frac {π}{4}$

$\frac {3π}{4}$

$\frac {5π}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出直线的普通方程，再求出直线斜率，由此能求出直线的倾斜角．

解答：

解：∵直线L的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+2$\sqrt {3}$t \ y=3-2t \ \end{matrix}\right.$(t为参数 )，

∴2t=3-y，x=1+$\sqrt {3}$(2t)=1+$\sqrt {3}$(3-y)，

∴直线L方程为x+$\sqrt {3}$y-3$\sqrt {3}$-1=0，

∴直线L的斜率k=-$\frac {1}{$\sqrt {3}$}$=-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

∴直线L的倾斜角为$\frac {5π}{6}$．

故选：D．

点评：

本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的参数方程和普通方程的互化．

12单选题

若曲线$\left\{\begin{matrix}x=2-tsin30° \ y=-1+tsin30° \ \end{matrix}\right.$(t为参数)与曲线ρ=2$\sqrt {2}$相交于B，C两点，则|BC|的值为（　　）

2$\sqrt {7}$

$\sqrt {60}$

7$\sqrt {2}$

$\sqrt {30}$

题目答案

答案解析

分析：

根据极坐标和直角坐标的互化公式，参数方程与普通方程的互化方法，即可得出结论．

解答：

解：曲线$\left\{\begin{matrix}x=2-tsin30° \ y=-1+tsin30° \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，化为普通方程y=1-x，

曲线ρ=2$\sqrt {2}$的直角坐标为x+y_=8，

y=1-x代入x+y_=8，可得2x-2x-7=0，

∴|BC|=$\sqrt {}$•$\sqrt {}$=$\sqrt {30}$．

故选：D．

点评：

本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，比较基础．

13填空题

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P(-1，0)，若极坐标方程为ρ=6cosθ+6sinθ+$\frac {9}{ρ}$的曲线与直线$\left\{\begin{matrix}x=-1+$\frac {4}{5}$t \ y=-$\frac {3}{5}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)相交于A、B两点，则|PA|•|PB|=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

把直线的参数方程代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出．

解答：

解：极坐标方程为ρ=6cosθ+6sinθ+$\frac {9}{ρ}$可化为ρ_=6ρcosθ+6ρsinθ+9，直角坐标方程为(x-3)_+(y-3)_=27．

直线的标准的参数方程为：$\left\{\begin{matrix}x=-1+$\frac {4}{5}$t \ y=-$\frac {3}{5}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)

把直线的标准的参数方程代人圆方程得，t_-$\frac {14}{5}$t-2=0①

设t$_1$，t$_2$是方程①的两个实根，则t$_1$t$_2$=-2

∴|PA|•|PB|=|t$_1$||t$_2$|=|t$_1$t$_2$|=2．

故答案为：2．

点评：

熟练掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的参数的几何意义是解题的关键．

14填空题

直线$\left\{\begin{matrix}x=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$t \ y=2+$\frac {1}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)被曲线y-3x_=0截得的线段长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先将直线$\left\{\begin{matrix}x=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$t \ y=2+$\frac {1}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)中的参数t消去可得x+$\sqrt {3}$y-2$\sqrt {3}$=0而曲线y-3x_=0表示的两条直线为y=$\sqrt {3}$x，y=-$\sqrt {3}$x故可将x+$\sqrt {3}$y-2$\sqrt {3}$=0分别与y=$\sqrt {3}$x，y=-$\sqrt {3}$联立求出交点坐标然后再利用两点间的距离公式即可求出截得的线段长．

解答：

解：∵直线$\left\{\begin{matrix}x=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$t \ y=2+$\frac {1}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)

∴消去t后可得x+$\sqrt {3}$y-2$\sqrt {3}$=0

∵曲线y-3x_=0所对应的直线方程为y=$\sqrt {3}$x，y=-$\sqrt {3}$x

∴令$\left\{\begin{matrix}x+$\sqrt {3}$y-2$\sqrt {3}$=0 \ y=$\sqrt {3}$x \ \end{matrix}\right.$，$\left\{\begin{matrix}x+$\sqrt {3}$y-2$\sqrt {3}$=0 \ y=-$\sqrt {3}$x \ \end{matrix}\right.$

则$\left\{\begin{matrix}x=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$ \ y=$\frac {3}{2}$ \ \end{matrix}\right.$，$\left\{\begin{matrix}x=-$\sqrt {3}$ \ y=3 \ \end{matrix}\right.$

∴由两点间的距离公式可得截得的线段长为$\sqrt {}$=3

故答案为3

点评：

本题主要考查了直线的参数方程和两点间距离公式的应用，属于基础题，较易．解本题的关键是会将直线的参数方程化为普通方程并且熟记两点间的距离公式！

15单选题

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {3}$+$\frac {1}{2}$t \ y=3+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(其中t为参数)，以ox为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=cosθ，则圆心C到直线l的距离为( )

2$\sqrt {3}$

2$\sqrt {2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

将题中直线与圆的参数方程都化成普通方程，可得所求距离就是点($\frac {1}{2}$，0)到直线$\sqrt {3}$x-y=0的距离，利用点到直线的距离公式，即可算出所求距离．

解答：

解：将直线l：$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {3}$+$\frac {1}{2}$t \ y=3+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$化成普通方程，得$\sqrt {3}$x-y=0

又∵圆C的极坐标方程为ρ=cosθ，

∴圆C的普通方程为(x-$\frac {1}{2}$)_+y_=$\frac {1}{4}$，得点C($\frac {1}{2}$，0)

因此，圆心C到直线l的距离为d=$\frac {$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$}{$\sqrt {3+1}$}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

故答案为：D．

点评：

本题给出直线与圆的参数方程，求点到直线的距离．着重考查了直线的方程、圆的方程和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．

16单选题

方程$\left\{\begin{matrix}x=t+$\frac {1}{t}$ \ y=2 \ \end{matrix}\right.$(t为参数)表示的曲线是（　　）

一条直线

两条射线

一条线段

抛物线的一部分

题目答案

答案解析

分析：

由t的范围求出x的范围，直接得到方程$\left\{\begin{matrix}x=t+$\frac {1}{t}$ \ y=2 \ \end{matrix}\right.$(t为参数)表示的曲线是两条射线．

解答：

解：∵x=t+$\frac {1}{t}$的定义域为{t|t≠0}．

当t＞0时，x=t+$\frac {1}{t}$≥2$\sqrt {}$=2；

当t＜0时，x=t+$\frac {1}{t}$=-(-t+$\frac {1}{-t}$)≤-2．

∴方程$\left\{\begin{matrix}x=t+$\frac {1}{t}$ \ y=2 \ \end{matrix}\right.$(t为参数)表示的曲线是两条射线．

如图：

故选：B．

点评：

本题考查了参数方程化普通方程，考查了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．

17填空题

在极坐标系中，直线l$_1$的极坐标方程为ρ(2cosθ+sinθ)=2，直线l$_2$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-2t \ y=2+kt \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，若直线l$_1$与直线l$_2$平行，则k的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

首先把极坐标方程转化为直角坐标方程2x+y-2=0，再把参数方程转化为直角坐标方程kx+2y-4-k=0，进一步利用直线平行的充要条件求得结果．

解答：

解：在极坐标系中，直线l$_1$的极坐标方程为ρ(2cosθ+sinθ)=2转化为直角坐标方程为：2x+y-2=0

直线l$_2$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-2t \ y=2+kt \ \end{matrix}\right.$(t为参数)转化为直角坐标：方程为：kx+2y-4-k=0

由于若直线l$_1$与直线l$_2$平行

则：$\frac {k}{2}$=$\frac {2}{1}$解得：k=4

故答案为：4

点评：

本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和直角坐标方程的互化，直线平行的充要条件及相关的运算问题．

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