《两半平面间立体几何问题》两半平面间立体几何问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《两半平面间立体几何问题》两半平面间立体几何问题

1单选题

已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（　　）

A

$\frac {\sqrt {2}}{3}$

B

$\frac {\sqrt {3}}{3}$

C

$\frac {\sqrt {6}}{3}$

D

1

题目答案

C

答案解析

分析：

画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．

解答：

解：由题意画出图形如图：直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D-ABC的高为h，所以AD=$\sqrt {3}$，CD=$\sqrt {2}$，BC=$\sqrt {3}$由V_B-ACD=V_D-ABC可知$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$AC•CD•BD =$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$AC•BC•h所以，h=$\frac {\sqrt {6}}{3}$故选C．

点评：

本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．

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2单选题

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则(　　)

A
θ＞φ，m＞n
B
θ＞φ，m＜n
C
θ＜φ，m＜n
D
θ＜φ，m＞n

题目答案

D

答案解析

分析：

在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可．

解答：

解：由题意可得$\left\{\begin{matrix}AB_=a_+n_=b_+m_ \ a＞b \ tanφ=$\frac {a}{n}$ \ tanθ=$\frac {b}{m}$ \ \end{matrix}\right.$，

即有$\left\{\begin{matrix}m＞n \ θ＜φ \ \end{matrix}\right.$，

故选D．

点评：

本题考查对直二面角的认识程度，以及正确识图的能力、借助图象进行推理的能力．

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3单选题

如图，若平面α⊥β，α∩β=CD，A∈α、B∈β，直线AB与α、β所成的角分别是30°、60°，则直线AB与CD所成角的大小为（　　）

A
60°
B
45°
C
30°
D
90°

题目答案

D

答案解析

分析：

如果空间想象能力较强，注意到30°、60°、90°三角的关系，可以果断判断AB与CD垂直，如果按常规作法，需要先作出线AB与CD所成角的平面角，再计算，在这个过程中发现只有当AB与CD垂直时才能得结果，从而作出判断

解答：

解：如图作BF⊥CD，AE⊥CD，AG∥EF，AG=EF，连接BE，FG，AF

∵平面α⊥β，∴AE⊥α，BF⊥β

∵直线AB与α、β所成的角分别是30°、60°

∴∠ABE=30°，∠BAF=60°，

设AB=2，则AE=1，AF=1，

∵△AEF为直角三角形，

∴E、F两点重合

∴CD⊥平面ABE(F)，AB⊂平面ABE(F)，

∴CD⊥AB

即线AB与CD所成角的大小为90°

故选D

点评：

本题考察了空间想象能力，空间线面角的作法，面面垂直的性质定理等知识，考查了同一性的思想，判断推理的能力

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4填空题

一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段与这个二面角的棱所成的角是°．

填空题答案仅供参考

题目答案

45

答案解析

分析：

先找到这条线段与这两个平面所成角的平面角，再作出线线角，利用题中的直角三角形即可求得．

解答：

解：如图，AB的两个端点A∈α，B∈β，

过A左AA′⊥β，交β于A′，连接BA′，则∠ABA′为线段AB与β所成角，且∠ABA′=30°，

同理，过B作BB′⊥α，交α于B′，则∠BAB′为BB′与α所成角，且∠BAB′=30°．

过B作BD∥A′B′，且BD=A′B′，则∠ABD为所求

∴A′B′BD为平行四边形

在直角△ABB′中，BB′=ABsin30°=$\frac {AB}{2}$

在直角△ABA′中，AA′=ABsin30°=$\frac {AB}{2}$，A′B=ABcos30°=$\frac {$\sqrt {3}$AB}{2}$

在直角△A′BD中，BD=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$A′B

在直角△ABD中，sin∠ABD=$\frac {AD}{AB}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

∴∠ABD=45°

故答案为：45°

点评：

本题考查了直线与平面所成角的求法，考查线线角，做题时正确作出角，再放入三角形中去解是解题的关键．

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5单选题

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为$\frac {π}{4}$和$\frac {π}{6}$．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=12，则A′B′=(　　)

A
4
B
6
C
8
D
9

题目答案

B

答案解析

分析：

连接AB′，A′B，由已知中A'、B'分别为过A、B向两平面交线所作的垂线的垂足，故AB与两平面α、β所成的角分别为∠BAB′，∠ABA′，再由已知中AB=12，分别求出BB′，A′B的长，解三角形ABB′，即可求出A'B'的长．

解答：

解：连接AB′，A′B，如下图所示：



∵AB与两平面α、β所成的角分别为$\frac {π}{4}$和$\frac {π}{6}$

即∠BAB′=$\frac {π}{4}$，∠ABA′=$\frac {π}{6}$

又∵AB=12

∴BB′=6$\sqrt {2}$，A′B=6$\sqrt {3}$

∴A′B′=$\sqrt {}$=6

故选B

点评：

本题考查的知识点是空间两点之间的距离，其中根据已知条件及线面夹角的定义，分别求出BB′，A′B的长，是解答本题的关键．

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6单选题

在直二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos_x+cos_y+sin_z的值为（　　）

A
$\sqrt {2}$
B
2
C
3
D
$\sqrt {3}$

题目答案

B

答案解析

分析：

根据题意，先分别作出AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，再利用三角函数求解即可．

解答：

解：过A、B分别作AC⊥l于C，BD⊥l于D，过B作直线平行于l，过C作直线平行于BD，两直线交于E，连接AD、AC、AE．

因α一l一β为直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．

又∠BAD、∠ABC分别为AB与α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．

又EC∥BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．

∴cos_x+cos_y+sin_z=$\frac {AD}{AB}$+$\frac {BC}{AB}$+ $\frac {AE}{AB}$=2

故选B．

点评：

本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查线面角，线线角，考查求三角函数的值，关键是正确找出相应的角．

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