《割补法求体积》割补法求体积 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《割补法求体积》割补法求体积

1单选题

若正方体的棱长为$\sqrt {2}$，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（　　）

A
$\frac {$\sqrt {2}$}{6}$
B
$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$
C
$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$
D
$\frac {2}{3}$

题目答案

B

答案解析

分析：

由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．

解答：

解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$的四棱锥的体积和，

一个四棱锥体积V$_1$=$\frac {1}{3}$×1×$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{6}$，

故八面体体积V=2V$_1$=$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$．

故选B．

点评：

本题是基础题，考查棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力．

纠错重做

2单选题

已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V为(       )

A
1+$\frac {$\sqrt {2}$}{6}$
B
2+$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$
C
$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$
D
3

题目答案

A

答案解析

分析：

复原的几何体是下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长都是1，分别求出体积即可．

解答：

解：平面展开图复原的几何体是下部为正方体，

上部是正四棱锥，棱长都是1，正方体的体积是1；

棱长为1的正四棱锥的体积是：$\frac {1}{3}$×1×1×$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{6}$，

故答案为：1+$\frac {$\sqrt {2}$}{6}$，选A．

点评：

本题考查组合体的体积，是基础题．

纠错重做

3单选题

已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为（　　）

A
4π
B
$\sqrt {3}$π
C
$\frac {4π}{3}$
D
$\frac {2π}{3}$

题目答案

C

答案解析

分析：

旋转体由圆柱与圆锥组成，圆柱、圆锥的底面圆的半径、高均为1，由此可求该旋转体的体积．

解答：

解：由题意，旋转体由圆柱与圆锥组成，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，体积为π×1_×1=π

圆锥的底面圆的半径为1，高为1，体积为$\frac {1}{3}$π×1_×1=$\frac {1}{3}$π

∴旋转体的体积为$\frac {4π}{3}$

故选C．

点评：

本题考查旋转体的体积，确定旋转体由圆柱与圆锥组成是关键．

纠错重做

4填空题

如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积为，体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

68π$\frac {140π}{3}$

答案解析

分析：

旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．

解答：

解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面 (3分)

S_半球=8π，S_圆台侧=35π，S_圆台底=25π．

故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π (7分)

由V_圆台=$\frac {1}{3}$×[π×2_+$\sqrt {}$+π×5_]×4=52π，(9分)

V_半球=$\frac {4}{3}$π×2_×$\frac {1}{2}$=$\frac {16}{3}$π (11分)

所以，旋转体的体积为V_圆台-V_半球=52π-$\frac {16}{3}$π=$\frac {140}{3}$π_ (cm_) (12分)

点评：

本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．

纠错重做

5单选题

在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）

A
$\frac {3}{2}$π
B
$\frac {5}{2}$π
C
$\frac {7}{2}$π
D
$\frac {9}{2}$π

题目答案

A

答案解析

分析：

所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．

解答：

解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，

则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．

∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=$\sqrt {3}$，BE=ABcos60°=1，

V$_1$=$\frac {1}{3}$π•AE_•CE=$\frac {5π}{2}$，V$_2$=$\frac {1}{3}$π•AE_•BE=π，

∴V=V$_1$-V$_2$=$\frac {3π}{2}$，

故选A．

点评：

本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．

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6填空题

等边三角形的边长为2，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积是．

填空题答案仅供参考

题目答案

2π

答案解析

分析：

根据旋转的平面图形想象出所得旋转体的结构特征，再由平面图形求出所得旋转体的几何元素的长度，代入体积公式进行求解．

解答：

解：如图：绕边AB所在的直线旋转一周，得到两个相同的圆锥，

∵等边三角形△ABC的边长为2，

∴圆锥的高是1，底面半径是$\sqrt {3}$，

∴所得旋转体的体积是2×$\frac {1}{3}$π×3×1=2π，

故答案为：2π．

点评：

本题的考点是旋转体的体积求法，关键是由平面图形想象出所得旋转体的结构特征，再求出所得旋转体的高以及其它长度，考查了空间想象能力．

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7单选题

一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）

A
27
B
9π
C
33
D
$\frac {27}{4}$π

题目答案

C

答案解析

分析：

根据俯视图，可得该几何体的底面是边长为3的正方形，再结合正视图和侧视图，得到该几何体的下部是一个棱长为3的正方体，上部是一个底面边长为3，高为2的正四棱锥，最后用正方体和正棱锥的体积公式，可以求出该几何体的体积．

解答：

解：由正视图和侧视图，得到该几何体的上部是一个锥体，而下部是一个柱体．

再观察俯视图，得到下部的柱体是棱长为3的正方体，上部是一个底面边长为3，高为2的正四棱锥．

∵下部的正方体体积为V$_1$=3×3×3=27，上部的正四棱锥体积为V$_2$=$\frac {1}{3}$S_底×高=$\frac {1}{3}$×3_×2=6

∴该几何体的体积是V=V$_1$+V$_2$=27+6=33，

故选C

点评：

本题要求我们将三视图还原为几何体，并且求出这个几何体的体积，着重考查了柱体和锥体的体积公式、空间中直线与平面之间的位置关系等知识点，考查了空间想象能力，属于基础题．

纠错重做

8填空题

如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB=1，BC=2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC(E在线段AD上)．由两圆弧EB、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2π}{3}$

答案解析

分析：

由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，利用圆柱和球的体积公式进行计算即可．

解答：

解：图中阴影部分绕AD旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，

两个半球的体积为：2×$\frac {1}{2}$×$\frac {4}{3}$×π=$\frac {4}{3}$π．

圆柱的底面半径为1，高为2，

∴圆柱的体积为π×2=2π，

∴该几何体的体积为2π-$\frac {4}{3}$π=$\frac {2π}{3}$．

故答案为：$\frac {2π}{3}$

点评：

本题主要考查旋转体的体积，要求熟练掌握常见几何体的体积公式．比较基础．

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9单选题

在△ABC中，AB=2，BC=2.5，∠ABC=120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）

A
$\frac {9π}{2}$
B
$\frac {7π}{2}$
C
$\frac {5π}{2}$
D
$\frac {3π}{2}$

题目答案

C

答案解析

分析：

如图，大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案．

解答：

解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

所以OA=AB•sin60°=$\sqrt {3}$，OB=1，

所以旋转体的体积：$\frac {1}{3}$×π ($\sqrt {3}$)_(OC-OB)=$\frac {1}{3}$×π ($\sqrt {3}$)_•BC=$\frac {5π}{2}$，

故选：C．

点评：

本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题．

纠错重做

10单选题

在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）

A
36π
B
28π
C
20π
D
16π

题目答案

D

答案解析

分析：

使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．

解答：

解：将△ABC绕直线BC旋转一周，

得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，

故所形成的几何体的体积V=$\frac {1}{3}$×π×4_×3=16π，

故选：D

点评：

本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．

纠错重做