《数学期望的实际应用》数学期望的实际应用 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《数学期望的实际应用》数学期望的实际应用

1填空题

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为$\frac {2}{3}$，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为$\frac {2}{5}$，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，则x≤3的概率是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {11}{15}$

答案解析

分析：

记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为$\frac {2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac {2}{5}$，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．

解答：

解：设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X$_1$，

小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X$_2$，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E(2X$_1$)

都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E(3X$_2$)

由已知可得，X$_1$～B(2，$\frac {2}{3}$)，X$_2$～B(2，$\frac {2}{5}$)，

∴E(X$_1$)=2×$\frac {2}{3}$=$\frac {4}{3}$，E(X$_2$)=2×$\frac {2}{5}$=$\frac {4}{5}$，

从而E(2X$_1$)=2E(X$_1$)=$\frac {8}{3}$，E(3X$_2$)=3E(X$_2$)=$\frac {12}{5}$，

由于E(2X$_1$)＞E(3X$_2$)，

∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．

点评：

本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．

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2填空题

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．ξ的数学期望是小时．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {7}{2}$

答案解析

分析：

若首次到达1号通道，则ξ的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则ξ的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则ξ的取值为6；同理若首次到达3号通道时，ξ的取值可为4或6，分别求出对应概率即可．利用期望公式代入即可．

解答：

解：必须要走到1号门才能走出，ξ(2)可能的取值为1，3，4，6，

P(ξ=1)=$\frac {1}{3}$，

P(ξ=3)=$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{6}$，

P(ξ=4)=$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{6}$，

P(ξ=6)=$_2$($\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$)×1=$\frac {1}{3}$

分布列为：

Eξ=1×$\frac {1}{3}$+3×$\frac {1}{6}$+4×$\frac {1}{6}$+6×$\frac {1}{3}$=$\frac {7}{2}$小时．

点评：

考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数字特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．

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3填空题

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为$\frac {2}{3}$和$\frac {1}{2}$，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中，成活的株数的期望是株．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {7}{3}$

答案解析

分析：

ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：

解：设A_k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2

B_l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2

则A_k，B_l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有

P(A_k)=C$_2$_($\frac {2}{3}$)_($\frac {1}{3}$)_，P(B_l)=C$_2$_($\frac {1}{2}$)_($\frac {1}{2}$)_．

据此算得P(A_0)=$\frac {1}{9}$，P(A$_1$)=$\frac {4}{9}$，P(A$_2$)=$\frac {4}{9}$．

P(B_0)=$\frac {1}{4}$，P(B$_1$)=$\frac {1}{2}$，P(B$_2$)=$\frac {1}{4}$．

解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且

P(ξ=0)=P(A_0•B_0)=P(A_0)•P(B_0)=$\frac {1}{9}$×$\frac {1}{4}$=$\frac {1}{36}$，

P(ξ=1)=P(A_0•B$_1$)+P(A$_1$•B_0)=$\frac {1}{9}$×$\frac {1}{2}$+$\frac {4}{9}$×$\frac {1}{4}$=$\frac {1}{6}$，

P(ξ=2)=P(A_0•B$_2$)+P(A$_1$•B$_1$)+P(A$_2$•B_0)=$\frac {1}{9}$×$\frac {1}{4}$+$\frac {4}{9}$×$\frac {1}{2}$+$\frac {4}{9}$×$\frac {1}{4}$=$\frac {13}{36}$，

P(ξ=3)=P(A$_1$•B$_2$)+P(A$_2$•B$_1$)=$\frac {4}{9}$×$\frac {1}{4}$+$\frac {4}{9}$×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{3}$．

P(ξ=4)=P(A$_2$•B$_2$)=$\frac {4}{9}$×$\frac {1}{4}$=$\frac {1}{9}$．

综上知ξ有分布列



从而，ξ的期望为

Eξ=0×$\frac {1}{36}$+1×$\frac {1}{6}$+2×$\frac {13}{36}$+3×$\frac {1}{3}$+4×$\frac {1}{9}$=$\frac {7}{3}$(株)．

解法二：分布列的求法同上，令ξ$_1$，ξ$_2$分别表示甲乙两种树成活的株数，则

ξ$_1$~B(2，$\frac {2}{3}$)，ξ$_2$~B(2，$\frac {1}{2}$)

故有Eξ$_1$=2×$\frac {2}{3}$=$\frac {4}{3}$，Eξ$_2$=2×$\frac {1}{2}$=1

从而知Eξ=Eξ$_1$+Eξ$_2$=$\frac {7}{3}$．

点评：

本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．

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4填空题

某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，李明在一所内领到驾照的概率是．

填空题答案仅供参考

题目答案

0.9976

答案解析

分析：

ξ的取值分别为1，2，3，4．ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，写出概率，做出期望．

解答：

解：ξ的取值分别为1，2，3，4．

ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故P(ξ=1)=0.6

ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，

故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096．

ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故

P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024．

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为



∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．李明在一年内领到驾照的概第为

1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.9976．

点评：

本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．题目的情景和我们的生活比较接近，可以帮助提高学习兴趣．

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5单选题

已知随机变量x服从二项分布x～B(6，$\frac {1}{3}$)，则P(x=2)=（　　）

A
$\frac {3}{16}$
B
$\frac {4}{243}$
C
$\frac {16}{243}$
D
$\frac {80}{243}$

题目答案

D

答案解析

分析：

x～B(6，$\frac {1}{3}$)表示6此独立重复试验，每次实验成功概率为$\frac {1}{3}$，P(x=2)表示6次试验中成功两次的概率．

解答：

解：P(x=2)=$_6$($\frac {1}{3}$)_($\frac {2}{3}$)_=$\frac {80}{243}$

故选D

点评：

本题考查独立重复试验中事件的概率及二项分布知识，属基本题．

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6单选题

若随机变量X服从二项分布B(4，$\frac {1}{3}$)，则EX的值为（　　）

A
$\frac {4}{3}$
B
$\frac {8}{3}$
C
$\frac {13}{3}$
D
$\frac {8}{9}$

题目答案

A

答案解析

分析：

根据随机变量ξ服从二项分布B(4，$\frac {1}{3}$)，和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到结果．

解答：

解：∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B(4，$\frac {1}{3}$)，

∴其期望Eξ=np=4×$\frac {1}{3}$=$\frac {4}{3}$．

故选：A．

点评：

本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是看出变量符合二项分布，这样题目的解题过程要简单的多．

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7单选题

随机变量ξ服从二项分布ξ～B(9，p)，且Eξ=3，则p等于（　　）

A
1
B
$\frac {2}{3}$
C
$\frac {1}{3}$
D
0

题目答案

C

答案解析

分析：

随机变量ξ服从二项分布，故可直接利用期望公式进行计算，求出p．

解答：

解：∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B(9，p)，且Eξ=3，

∴Eξ=9p=3，

∴p=$\frac {1}{3}$．

故选：C．

点评：

本题主要考查二项分布的期望的简单应用，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．

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8单选题

某单位为绿化环境，移栽了甲种大树4棵，乙种大树3株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为$\frac {3}{4}$和$\frac {1}{3}$，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的6株大树中，成活的株数的期望是（　　）

A
7
B
4
C
3
D
1

题目答案

B

答案解析

分析：

甲、乙都满足二项分布，并且互不影响，就可以分开算期望，然后再根据和的期望等于求期望之和求解．

解答：

甲、乙都满足二项分布，所以全部成活的株数也满足二项分布，因为全部成活的株数=甲成活的+乙成活的，所以全部成活的株数的期望=甲成活的期望+乙成活的期望．根据二项分布，甲成活的期望=4×$\frac {3}{4}$=3株，乙成活的期望=3×$\frac {1}{3}$=1株．所以全部成活的株数的期望=甲成活的期望+乙成活的期望=4株．故选B．

点评：

本题主要考查二项分布的期望．

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9单选题

某单位为绿化环境，移栽了甲种大树5棵，乙种大树6株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为$\frac {3}{5}$和$\frac {1}{3}$，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的11株大树中，成活的株数的期望是（　　）

A
5
B
3
C
2
D
1

题目答案

A

答案解析

分析：

甲、乙都满足二项分布，并且互不影响，就可以分开算期望，然后再根据和的期望等于求期望之和求解．

解答：

甲、乙都满足二项分布，所以全部成活的株数也满足二项分布，因为全部成活的株数=甲成活的+乙成活的，所以全部成活的株数的期望=甲成活的期望+乙成活的期望．根据二项分布，甲成活的期望=5×$\frac {3}{5}$=3株，乙成活的期望=6×$\frac {1}{3}$=2株．所以全部成活的株数的期望=甲成活的期望+乙成活的期望=5株．故选A．

点评：

本题主要考查二项分布的期望．

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10单选题

已知随机变量ξ服从参数N=10，M=6，n=3的超几何分布，则其期望为（　　）

A
180
B
20
C
5
D
1.8

题目答案

D

答案解析

分析：

利用超几何分布的期望公式直接求解．

解答：

已知随机变量ξ服从参数N=10，M=6，n=3的超几何分布，则其期望=$\frac {nM}{N}$=1.8．故选D．

点评：

这是考查超几何分布的期望公式．

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11单选题

已知随机变量ξ服从参数N=8，M=6，n=3的超几何分布，则其期望为（　　）

A

2.25

B

4

C

16

D

144

题目答案

A

答案解析

分析：

利用超几何分布的期望公式直接求解．

解答：

已知随机变量ξ服从参数N=10，M=6，n=3的超几何分布，则其期望=$\frac {nM}{N}$=2.25．故选A．

点评：

这是考查超几何分布的期望公式．

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12单选题

已知随机变量ξ服从参数N=10，M=5，n=4的超几何分布，则其期望为（　　）

A
2
B
8
C
12.5
D
200

题目答案

A

答案解析

分析：

利用超几何分布的期望公式直接求解．

解答：

已知随机变量ξ服从参数N=10，M=6，n=3的超几何分布，则其期望=$\frac {nM}{N}$=2．故选A．

点评：

这是考查超几何分布的期望公式．

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